Exemplo 9. A ciclóide é uma curva descrita por um ponto fixo P da circunferência de um círculo, quando este rola, sem deslizar, sobre uma reta. Encontre as coordenadas paramétricas da ciclóide e determine os intervalos em que é suave.
Passo 1
O enunciado nos pede as coordenadas paramétricas da ciclóide gerada por um ponto fixo P em um círculo de raio r rolando sem deslizar sobre o eixo x, e quer os intervalos em que essa curva é suave (ou seja, regular). Para resolver precisamos usar geometria do rolamento sem deslizamento e o conceito de regularidade de curvas paramétricas (vetor velocidade não nulo).
Passo 2
Definimos como parâmetro o ângulo de rotação t. À medida que o círculo rola sem deslizar, o seu centro se desloca horizontalmente uma distância igual ao comprimento do arco percorrido, ou seja, r\,t. Logo, a posição do centro é
\bigl(r\,t,\;r\bigr).
O ponto P, que inicia em (0,0), tem vetor posição relativo ao centro dado pela rotação em sentido horário de ângulo t do vetor inicial (0,-r). Aplicando a matriz de rotação de ângulo -t:
\begin{pmatrix} x_{\mathrm{rel}}\\\ y_{\mathrm{rel}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t\\\\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\\\ -r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\,r\sin t\\\\ -\,r\cos t \end{pmatrix}.
Somando ao centro, obtemos as equações paramétricas
implica simultaneamente \sin t=0 e \cos t=1, ou seja t=2k\pi, k\in\mathbb{Z}. Nesses pontos a velocidade anula e surgem cúspides. Portanto a ciclóide é suave para todos t\neq 2k\pi, isto é, em cada intervalo aberto
(2k\pi,\,2(k+1)\pi), \quad k\in\mathbb{Z}.
Resposta
As coordenadas paramétricas da ciclóide gerada por um círculo de raio r\) são
\[\begin{cases} x(t)=r\bigl(t - \sin t\bigr),\\\ y(t)=r\bigl(1 - \cos t\bigr), \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Essa curva é suave (regular) para todos t\neq 2k\pi\], \(k\in\mathbb{Z}, ou seja, em cada intervalo (2k\pi,2(k+1)\pi).