Exercício 9. Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
e o objetivo é calcular o valor numérico da integral dupla (isto é, primeiro avaliar a integral interna em função de
e depois integrar essa função de
de
a
).
Passo 2
Primeiro vamos calcular a integral interna. Para isso usamos a regra básica de antiderivação para potências: para
,
Também usamos a linearidade da integral: a integral de soma é soma das integrais, e constantes saem da integral. Aplicando termo a termo ao polinômio
, obtemos os antiderivados de cada termo:
Passo 3
Somando os antiderivados dos termos temos um antiderivado para a integral interna:
Agora avaliamos esse antiderivado entre
e
(regra da integral definida / Teorema Fundamental do Cálculo):
Passo 4
Com isso a integral original fica uma integral simples em
:
Passo 5
Calculemos a antiderivada da função
termo a termo, usando a mesma regra de potências:
Portanto um antiderivado é
Passo 6
Avaliamos esse antiderivado entre
e
: