Exercício 9. Calcule as integrais definidas:
\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{t}\left(12 x^{2}-6 x+2\right) d x\right] d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{t}\left(12 x^{2}-6 x+2\right)\,d x\right] d t.
Informações dadas:
\text{(i)}\quad \text{integral interna: } \int_{0}^{t}\left(12 x^{2}-6 x+2\right)\,d x,
\text{(ii)}\quad \text{integral externa: } \int_{0}^{1}(\cdot)\,d t,
e o objetivo é calcular o valor numérico da integral dupla (isto é, primeiro avaliar a integral interna em função de t e depois integrar essa função de t de 0 a 1).

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral interna. Para isso usamos a regra básica de antiderivação para potências: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Também usamos a linearidade da integral: a integral de soma é soma das integrais, e constantes saem da integral. Aplicando termo a termo ao polinômio \left(12 x^{2}-6 x+2\right), obtemos os antiderivados de cada termo:
\int 12x^{2}\,dx = 12\cdot\frac{x^{3}}{3}=4x^{3},
\int -6x\,dx = -6\cdot\frac{x^{2}}{2}=-3x^{2},
\int 2\,dx = 2x.

Passo 3

Somando os antiderivados dos termos temos um antiderivado para a integral interna:
\int\left(12 x^{2}-6 x+2\right)\,dx = 4x^{3}-3x^{2}+2x + C.
Agora avaliamos esse antiderivado entre x=0 e x=t (regra da integral definida / Teorema Fundamental do Cálculo):
\int_{0}^{t}\left(12 x^{2}-6 x+2\right)\,dx = \Big[4x^{3}-3x^{2}+2x\Big]_{0}^{t} = 4t^{3}-3t^{2}+2t.

Passo 4

Com isso a integral original fica uma integral simples em t:
\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{t}\left(12 x^{2}-6 x+2\right)\,dx\right]dt = \int_{0}^{1}\left(4t^{3}-3t^{2}+2t\right)\,dt.

Passo 5

Calculemos a antiderivada da função 4t^{3}-3t^{2}+2t termo a termo, usando a mesma regra de potências:
\int 4t^{3}\,dt = 4\cdot\frac{t^{4}}{4}=t^{4},
\int -3t^{2}\,dt = -3\cdot\frac{t^{3}}{3}=-t^{3},
\int 2t\,dt = 2\cdot\frac{t^{2}}{2}=t^{2}.
Portanto um antiderivado é
t^{4}-t^{3}+t^{2}.

Passo 6

Avaliamos esse antiderivado entre t=0 e t=1:
\Big[t^{4}-t^{3}+t^{2}\Big]_{0}^{1} = (1^{4}-1^{3}+1^{2}) - (0-0+0) = 1-1+1 = 1.

Resposta

1

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