Exercício 9. Calcule as integrais definidas:
\int_{1}^{4} 2 t \sqrt{t^{2}+1} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4} 2\,t\sqrt{t^{2}+1}\,dt.
Informações dadas: a função integranda é 2\,t\sqrt{t^{2}+1} e os limites de integração são t=1 a t=4. O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Observação útil para escolher o método: dentro da raiz aparece a expressão t^{2}+1 e fora da raiz aparece o fator 2t. Isso sugere fazer a substituição que transforma a parte t^{2}+1 em uma nova variável, porque a derivada de t^{2}+1 é exatamente 2t. Vamos apresentar e justificar essa substituição passo a passo.
Definimos a nova variável
u = t^{2}+1.
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a t para relacionar os diferenciais:
du = \frac{d}{dt}(t^{2}+1)\,dt = 2t\,dt.
Portanto o elemento 2t\,dt que aparece na integral original é exatamente du. Essa é a ideia: trocar t por u de modo que a integral fique mais simples.

Passo 3

Quando fazemos substituição em integrais definidas, devemos também trocar os limites de integração de acordo com a relação u=t^{2}+1.
Para t=1:
u(1)=1^{2}+1=2.
Para t=4:
u(4)=4^{2}+1=17.
Substituindo u e du na integral original, obtemos
\int_{1}^{4} 2\,t\sqrt{t^{2}+1}\,dt = \int_{u=2}^{u=17} \sqrt{u}\,du.
Também escrevemos \sqrt{u} como u^{1/2}, então a integral fica
\int_{2}^{17} u^{1/2}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para primitivas (antiderivadas): se n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Aplicando a fórmula:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}\,u^{3/2} + C.
Essa expressão é a primitiva de u^{1/2}.

Passo 5

Como estamos calculando uma integral definida, avaliamos a primitiva nos limites u=2 e u=17:
\int_{2}^{17} u^{1/2}\,du = \left.\frac{2}{3}\,u^{3/2}\right|_{2}^{17} = \frac{2}{3}\big(17^{3/2}-2^{3/2}\big).
Para escrever de forma mais explícita, usamos a^{3/2}=a\sqrt{a}, então
17^{3/2}=17\sqrt{17},\qquad 2^{3/2}=2\sqrt{2},
logo a expressão fica
\frac{2}{3}\big(17\sqrt{17}-2\sqrt{2}\big).

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\big(17\sqrt{17}-2\sqrt{2}\big)

Exercícios relacionados