Exercício 9. Calcule as integrais definidas: \int_{1}^{4} 2 t \sqrt{t^{2}+1} d t
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4} 2\,t\sqrt{t^{2}+1}\,dt.
Informações dadas: a função integranda é 2\,t\sqrt{t^{2}+1} e os limites de integração são t=1 a t=4. O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Observação útil para escolher o método: dentro da raiz aparece a expressão t^{2}+1 e fora da raiz aparece o fator 2t. Isso sugere fazer a substituição que transforma a parte t^{2}+1 em uma nova variável, porque a derivada de t^{2}+1 é exatamente 2t. Vamos apresentar e justificar essa substituição passo a passo.
Definimos a nova variável
u = t^{2}+1.
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a t para relacionar os diferenciais:
du = \frac{d}{dt}(t^{2}+1)\,dt = 2t\,dt.
Portanto o elemento 2t\,dt que aparece na integral original é exatamente du. Essa é a ideia: trocar t por u de modo que a integral fique mais simples.
Passo 3
Quando fazemos substituição em integrais definidas, devemos também trocar os limites de integração de acordo com a relação u=t^{2}+1.
Para t=1: