Exemplo 1.38. Discuta a convergência da sequência (
), nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente discuta a convergência da sequência
Informações dadas: a fórmula explícita de
para
.
Pergunta: a sequência converge? Se sim, para qual valor ela converge?
Pergunta: a sequência
Passo 2
Observação intuitiva (ajuda a escolher o método): numerador é um polinômio de grau
em
e denominador é um polinômio de grau
em
. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, espera-se que a fração vá para
quando
. Vou transformar isso numa demonstração rigorosa e também mostrar uma outra forma usando desigualdades.
Passo 3
Método 1 — simplificação algébrica e uso de propriedades de limites. Divido numerador e denominador pelo maior potência de
presente no denominador, que é
. Fazendo isso obtenho:
Agora uso duas propriedades simples de limites de sequência:
-
, porque ; -
, porque .
Como o limite do numerador existe e vale
e o limite do denominador existe e vale
, pela propriedade do limite de quociente temos
(Explicando a propriedade usada: se
e
com
, então
. É uma regra básica de operações com limites.)
Passo 4
Método 2 — desigualdade (teorema do confronto / squeeze). Para
temos
. Assim
Sabemos que
. Aplicando o teorema do confronto (se
e
então
), concluímos novamente que
.
Passo 5
Comentário didático e técnica rápida para prova: para frações de polinômios em
é prático comparar os graus. Se o grau do denominador for maior que o do numerador, a sequência tende a
. Se os graus forem iguais, tende ao quociente dos coeficientes dos termos dominantes. Se o grau do numerador for maior, a sequência diverge para
(ou não tem limite finito). Exemplos rápidos:
No exercício dado, grau denom (3) > grau num (2), por isso o limite é
.
Passo 6
Resumo do raciocínio feito: apresentei duas demonstrações convincentes — uma por simplificação algébrica e propriedades de limites, outra por desigualdade e o teorema do confronto — ambas mostram que a sequência converge. Mantenha essa estratégia na prova: ao ver polinômios, divida pelo maior poder ou compare graus; se precisar de rigor extra use desigualdades para aplicar o squeeze theorem. Força aí — esse tipo de problema é muito comum e, com esses truques, fica rapidinho na prova!