Exemplo 1.38. Discuta a convergência da sequência ( x_{n} ), nos seguintes casos:
x_{n}=\frac{4 n^{2}}{2 n^{3}+1}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente discuta a convergência da sequência
x_{n}=\frac{4 n^{2}}{2 n^{3}+1}.
Informações dadas: a fórmula explícita de x_{n} para n\in\mathbb{N}.
Pergunta: a sequência (x_{n}) converge? Se sim, para qual valor ela converge?

Passo 2

Observação intuitiva (ajuda a escolher o método): numerador é um polinômio de grau 2 em n e denominador é um polinômio de grau 3 em n. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, espera-se que a fração vá para 0 quando n\to\infty. Vou transformar isso numa demonstração rigorosa e também mostrar uma outra forma usando desigualdades.

Passo 3

Método 1 — simplificação algébrica e uso de propriedades de limites. Divido numerador e denominador pelo maior potência de n presente no denominador, que é n^{3}. Fazendo isso obtenho:
x_{n}=\frac{4 n^{2}}{2 n^{3}+1}=\frac{\dfrac{4 n^{2}}{n^{3}}}{\dfrac{2 n^{3}}{n^{3}}+\dfrac{1}{n^{3}}}=\frac{\dfrac{4}{n}}{2+\dfrac{1}{n^{3}}}.
Agora uso duas propriedades simples de limites de sequência:
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{4}{n}=0, porque 1/n\to0;
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(2+\frac{1}{n^{3}}\right)=2, porque 1/n^{3}\to0.
Como o limite do numerador existe e vale 0 e o limite do denominador existe e vale 2\neq0, pela propriedade do limite de quociente temos
\lim_{n\to\infty} x_{n}=\frac{0}{2}=0.
(Explicando a propriedade usada: se a_{n}\to a e b_{n}\to b com b\neq0, então a_{n}/b_{n}\to a/b. É uma regra básica de operações com limites.)

Passo 4

Método 2 — desigualdade (teorema do confronto / squeeze). Para n\ge1 temos 2 n^{3}+1\ge 2 n^{3}. Assim
0\le x_{n}=\frac{4 n^{2}}{2 n^{3}+1}\le \frac{4 n^{2}}{2 n^{3}}=\frac{2}{n}.
Sabemos que \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}=0. Aplicando o teorema do confronto (se 0\le a_{n}\le b_{n} e b_{n}\to0 então a_{n}\to0), concluímos novamente que x_{n}\to0.

Passo 5

Comentário didático e técnica rápida para prova: para frações de polinômios em n é prático comparar os graus. Se o grau do denominador for maior que o do numerador, a sequência tende a 0. Se os graus forem iguais, tende ao quociente dos coeficientes dos termos dominantes. Se o grau do numerador for maior, a sequência diverge para \pm\infty (ou não tem limite finito). Exemplos rápidos:
\frac{3n}{n^{2}+1}\to0,\qquad \frac{5n^{2}+1}{2n^{2}-3}\to\frac{5}{2}.
No exercício dado, grau denom (3) > grau num (2), por isso o limite é 0.

Passo 6

Resumo do raciocínio feito: apresentei duas demonstrações convincentes — uma por simplificação algébrica e propriedades de limites, outra por desigualdade e o teorema do confronto — ambas mostram que a sequência converge. Mantenha essa estratégia na prova: ao ver polinômios, divida pelo maior poder ou compare graus; se precisar de rigor extra use desigualdades para aplicar o squeeze theorem. Força aí — esse tipo de problema é muito comum e, com esses truques, fica rapidinho na prova!

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_{n}=0

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