Exemplo 4

Ache o raio de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} x^{2 n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}2^{n}x^{2n}.
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para determinar o intervalo (ou raio) de convergência.

Passo 2

Escrevemos o termo geral da série como \displaystyle a_{n}=2^{n}x^{2n}
e aplicamos o teste da razão, que diz para calcular
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Bigr|
e exigir L<1 para que a série convirja.

Passo 3

Calculando a razão entre termos consecutivos, temos
\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Bigr| =\frac{2^{n+1}|x|^{2(n+1)}}{2^{n}|x|^{2n}} =2\,|x|^{2}.
Portanto o limite do teste da razão é L=2|x|^{2}.

Passo 4

Impondo a condição de convergência L<1, obtemos
2\,|x|^{2} < 1 \quad\Longrightarrow\quad |x|^{2} < \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad |x| < \frac{1}{\sqrt2}.
Isso mostra que a série converge sempre que |x|<1/\sqrt2.

Resposta

O raio de convergência é R = \tfrac{1}{\sqrt2}.

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