Resolva as seguintes equações diferenciais:
\left(4 y+y x^{2}\right) d y-\left(2 x+x y^{2}\right) d x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(4y + x^2 y\bigr)\,dy \;-\;\bigl(2x + x y^2\bigr)\,dx \;=\;0.
Isso é uma equação da forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. Vamos verificar se é exata e, em caso negativo, encontrar um fator integrante em função de x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = -\bigl(2x + x\,y^2\bigr) = -x\,(2 + y^2), \qquad N(x,y) = 4y + x^2y = y\,(4 + x^2).
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = -x\cdot 2y = -2xy, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = y\cdot 2x = 2xy,
como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Testamos a possibilidade de um fator integrante \mu(x). Usamos
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} = \frac{-2xy - 2xy}{y\,(4+x^2)} = -\frac{4x}{4+x^2},
que depende só de x. Logo
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\frac{4x}{4+x^2}\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(-2\ln(4+x^2)\Bigr) = (4+x^2)^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
M^*(x,y) = -\frac{2x + x\,y^2}{(4+x^2)^2}, \qquad N^*(x,y) = \frac{y\,(4+x^2)}{(4+x^2)^2} = \frac{y}{4+x^2}.
Agora \partial M^*/\partial y = \partial N^*/\partial x, ou seja, a equação torna-se exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial \psi(x,y) tal que \partial\psi/\partial x = M^*. Fazendo
\psi(x,y) = \int -\frac{(2+y^2)\,x}{(4+x^2)^2}\,dx + h(y),
usamos u=4+x^2, du=2x\,dx para obter
\int \frac{-x\,(2+y^2)}{(4+x^2)^2}\,dx = -(2+y^2)\,\frac{1}{2}\!\int \frac{du}{u^2} = \frac{2+y^2}{2(4+x^2)}.
Logo
\psi(x,y) = \frac{2+y^2}{2(4+x^2)} + h(y).
Derivando em y:
\frac{\partial\psi}{\partial y} = \frac{y}{4+x^2} + h'(y) \stackrel!= N^* = \frac{y}{4+x^2} \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0.

Passo 6

Concluímos que a solução geral implícita é
\psi(x,y) = C \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{2+y^2}{2(4+x^2)} = C.
Multiplicando por 2 e reescrevendo a constante, obtemos
\frac{y^2 + 2}{x^2 + 4} = K,
com K constante arbitrária.

Resposta

\frac{y^2 + 2}{x^2 + 4} = K,
ou equivalentemente y^2 + 2 = K\,(x^2 + 4), com K constante.

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