Resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Isso é uma equação da forma
. Vamos verificar se é exata e, em caso negativo, encontrar um fator integrante em função de
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
como
, a equação não é exata.
Passo 3
Testamos a possibilidade de um fator integrante
. Usamos
que depende só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Agora
, ou seja, a equação torna-se exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
. Fazendo
usamos
,
para obter
Logo
Derivando em
:
Passo 6
Concluímos que a solução geral implícita é
Multiplicando por 2 e reescrevendo a constante, obtemos
com
constante arbitrária.
Resposta
ou equivalentemente
, com
constante.