Dê um exemplo de alguns tipos de sequência:
Uma sequência de números reais com a sua lei de formação.

Passo 1

O enunciado pede exemplos de sequências de números reais, cada uma acompanhada da sua lei de formação. Em geral, uma sequência é uma função
a\colon \mathbb{N}\to\mathbb{R},\quad n\mapsto a_{n},
então nossa tarefa é escolher algumas leis de formação a_{n} que gerem comportamentos diferentes (aritmético, geométrico, alternante etc.).

Passo 2

Sequência aritmética: diferença constante
Escolhemos
a_{n}=3+2\,(n-1).
Aqui a razão é d=2, logo
a_{1}=3,\\ a_{2}=5,\\ a_{3}=7,\dots
é uma sequência estritamente crescente e não limitada superiormente.

Passo 3

Sequência geométrica: razão constante
Tomamos
b_{n}=5\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n-1}.
A razão é q=\tfrac12, portanto
b_{1}=5,\\ b_{2}=2{,}5,\\ b_{3}=1{,}25,\dots
é positiva, decrescente e converge a zero.

Passo 4

Sequência alternante e convergente
Definimos
c_{n}=(-1)^{n}\,\frac{1}{n}.
Os sinais alternam e o módulo \frac1n tende a zero, logo c_{n} converge a 0 oscilando entre positivo e negativo.

Passo 5

Sequência oscilante sem limite
Escolhemos
d_{n}=\sin\!\bigl(n\pi/3\bigr).
Como n\pi/3 atinge múltiplos de \pi e \pi/2, a sequência fica em \{0,\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac{\sqrt3}{2},1,-1\} sem convergir.

Resposta

a_{n}=3+2(n-1) (aritmética); b_{n}=5\bigl(\tfrac12\bigr)^{n-1} (geométrica); c_{n}=(-1)^{n}\tfrac{1}{n} (alternante e convergente); d_{n}=\sin(n\pi/3) (oscilante sem limite).

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