Dê exemplo de um anel não comutativo onde exista um ideal maximal que não é primo.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de anel não comutativo que tenha um ideal maximal (dois-lados) que não seja primo. O conteúdo que vamos usar é teoria de ideais em anéis não comutativos, especialmente as noções de anel primo e ideal primo versus ideal maximal.

Passo 2

Considere um corpo k e um espaço vetorial V sobre k de dimensão infinita. Definimos o anel R = Endk(V), cujos elementos são todas as aplicações lineares de V em V, com operações usuais de soma e composição. É claro que R não é comutativo.

Passo 3

Dentro de R, tome I como o conjunto de endomorfismos de posto (rank) finito em V. Ou seja,
I = fin R : dimk(Im,f) < infty,
É fácil ver que I é um ideal dois-lados de R.

Passo 4

Agora mostramos que I é maximal. Note que o quociente R/I não tem ideais próprios não-triviais, pois qualquer ideal não-nulo no quociente corresponderia a um ideal próprio em R contendo I, e o único ideal estritamente maior que I seria R todo. Logo R/I é simples, o que implica que I é maximal.

Passo 5

Para ver que I não é prim, precisamos encontrar a,bin Rsetminus I tais que
a R b subseteq I
mas nem a nem b estão em I. Escolha uma base (e1,e2,e3,dots) de V e defina os operadores “deslocamento”:
a(ei)=ei+1, b(e1)=0, b(ei)=ei-1 para i>1

Passo 6

Ambos a e b têm imagem infinita, logo não estão em I. Mas para qualquer hin R, a composição
acirc hcirc b
tem imagem contida na imagem de a, que é gerada por e2,e3,dots e, ao compor com b, cai numa subespaço finito. Assim
a R b subseteq I
Isso mostra que I falha na propriedade de ideal prim: mesmo com aRbsubseteq I, nem a nem b pertencem a I.

Resposta

Um exemplo é R=End_k(V) onde V é um espaço vetorial de dimensão infinita sobre um corpo k, e I={endomorfismos de posto finito}. Aí I é maximal em R, mas não é primo.

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