Dê exemplo de um anel não comutativo onde exista um ideal maximal que não é primo.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de anel não comutativo que tenha um ideal maximal (dois-lados) que não seja primo. O conteúdo que vamos usar é teoria de ideais em anéis não comutativos, especialmente as noções de anel primo e ideal primo versus ideal maximal.
Passo 2
Considere um corpo
e um espaço vetorial
sobre
de dimensão infinita. Definimos o anel
, cujos elementos são todas as aplicações lineares de
em
, com operações usuais de soma e composição. É claro que
não é comutativo.
Passo 3
Dentro de
, tome
como o conjunto de endomorfismos de posto (rank) finito em
. Ou seja,
É fácil ver que
é um ideal dois-lados de
.
Passo 4
Agora mostramos que
é maximal. Note que o quociente
não tem ideais próprios não-triviais, pois qualquer ideal não-nulo no quociente corresponderia a um ideal próprio em
contendo
, e o único ideal estritamente maior que
seria
todo. Logo
é simples, o que implica que
é maximal.
Passo 5
Para ver que
não é prim, precisamos encontrar
tais que
mas nem
nem
estão em
. Escolha uma base
de
e defina os operadores “deslocamento”:
Passo 6
Ambos
e
têm imagem infinita, logo não estão em
. Mas para qualquer
, a composição
tem imagem contida na imagem de
, que é gerada por
e, ao compor com
, cai numa subespaço finito. Assim
Isso mostra que
falha na propriedade de ideal prim: mesmo com
, nem
nem
pertencem a
.
Resposta
Um exemplo é R=End_k(V) onde V é um espaço vetorial de dimensão infinita sobre um corpo k, e I={endomorfismos de posto finito}. Aí I é maximal em R, mas não é primo.