Questão 5. Seja
[T]=(cc 4 & 9 / 4 -1 & 1 )
  • O operador T é diagonalizavel?
  • Se a resposta anterior for negativa, encontre a forma de Jordan de T bem como a matriz P de passagem.

Passo 1

O exercício pede para verificar se o operador linear representado pela matriz
[T]=4 & 9/4-1 & 1
é diagonalizável e, caso não seja, encontrar sua forma de Jordan e a matriz de passagem. Vamos usar teoria de autovalores e autovetores, além de cadeias de Jordan.

Passo 2

Para testar diagonalização, calculamos o polinômio característico de [T]. Montamos
det([T]-lambda I)=det4-lambda & 9/4-1 & 1-lambda=(4-lambda)(1-lambda)+tfrac94
Expandindo,
(4-lambda)(1-lambda)=4-5lambda+lambda^2,
então
chi(lambda)=lambda^2-5lambda+4+tfrac94=lambda^2-5lambda+tfrac254
A única raiz é
lambda=52
com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Agora achamos o espaço próprio para lambda=5/2. Resolvemos
([T]-tfrac52I)v=0Longrightarrow3/2 & 9/4-1 & -3/2xy=0
A primeira equação dá 6x+9y=0 ou x=-tfrac32y. Então há só um grau de liberdade: o espaço próprio é de dimensão 1. Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), [T] não é diagonalizável.

Passo 4

Para obter a forma de Jordan, precisamos de um vetor generalizado v2 tal que
([T]-tfrac52I)v2=v1,
onde escolhemos um autovetor v1. Tomando y=2 na relação x=-tfrac32y, fica
v1=-32
Para v2=(a,b)^T, resolvemos
3/2 & 9/4-1 & -3/2ab=-32
Bastou escolher, por exemplo, b=0, o que dá a=-2. Logo
v2=-20

Passo 5

Colocando em base ordenada (v1,v2), a matriz de passagem
P=-3 & -22 & 0
e a forma de Jordan de [T] é
J=5/2 & 10 & 5/2,
pois nessa base [T] B=J.

Resposta

O operador não é diagonalizável; sua forma de Jordan é J=5/2&10&5/2 e uma matriz de passagem é P=-3&-22&0.

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