Questão 5. Seja
- O operador
é diagonalizavel?
- Se a resposta anterior for negativa, encontre a forma de Jordan de
bem como a matriz
de passagem.
Passo 1
O exercício pede para verificar se o operador linear representado pela matriz
é diagonalizável e, caso não seja, encontrar sua forma de Jordan e a matriz de passagem. Vamos usar teoria de autovalores e autovetores, além de cadeias de Jordan.
Passo 2
Para testar diagonalização, calculamos o polinômio característico de
. Montamos
Expandindo,
então
A única raiz é
com multiplicidade algébrica 2.
Passo 3
Agora achamos o espaço próprio para
. Resolvemos
A primeira equação dá
ou
. Então há só um grau de liberdade: o espaço próprio é de dimensão 1. Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2),
não é diagonalizável.
Passo 4
Para obter a forma de Jordan, precisamos de um vetor generalizado
tal que
onde escolhemos um autovetor
. Tomando
na relação
, fica
Para
, resolvemos
Bastou escolher, por exemplo,
, o que dá
. Logo
Passo 5
Colocando em base ordenada
, a matriz de passagem
e a forma de Jordan de
é
pois nessa base
.
Resposta
O operador não é diagonalizável; sua forma de Jordan é
e uma matriz de passagem é
.