Questão 4. Seja T: R^3 R^3 transformacao linear cuja matriz em relacao a base canonica é dada por
(lll 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3 )
  • O operador T é ortogonal?Justifique sua resposta.
  • O operador T é simetrico?Justifique sua resposta.
  • O operador T é diagonalizavel?Justifique sua resposta. Em caso afirmativo encontre a sua matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o operador linear T: ℝ³→ℝ³ cuja matriz na base canônica é
A=1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3
Precisamos verificar se T é ortogonal, simétrico e se é diagonalizável (achando a matriz diagonal, se for).

Passo 2

Para ser ortogonal, a matriz A deve satisfazer AᵀA=I (ou equivalentemente A^{-1}=Aᵀ). Vamos calcular AᵀA. Primeiro,
A^T=1 & 0 & 0 1 & 2 & 2 1 & 1 & 3
Logo,
A^T A= 1 & 0 & 0 1 & 2 & 2 1 & 1 & 3 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3 =1 & 1 & 1 1 & 9 & 9 1 & 9 & 11,
que claramente não é a identidade. Portanto T não é ortogonal.

Passo 3

Para ser simétrico, devemos ter A^T=A. Comparando
A=1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3 e A^T=1 & 0 & 0 1 & 2 & 2 1 & 1 & 3,
vemos que, por exemplo, o elemento (a_{12}=1) difere de (a_{21}=0). Logo A≠A^T, e T não é simétrico.

Passo 4

Para checar diagonalizabilidade, vamos achar o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)= det1-lambda & 1 & 1 0 & 2-lambda & 1 0 & 2 & 3-lambda=(1-lambda)det2-lambda & 1 2 & 3-lambda
Calculando a menor:
(2-lambda)(3-lambda)-2cdot1=lambda^2-5lambda+4=(lambda-1)(lambda-4)
Então
det(A-lambda I)=(1-lambda)(lambda-1)(lambda-4)=-(lambda-1)^2(lambda-4)
Os autovalores são λ=1 (multiplicidade algébrica 2) e λ=4 (multiplicidade 1). Para λ=1, resolvemos (A-I)x=0:
0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 2 & 2x=0
que dá a equação y+z=0 e x livre. Logo o espaço próprio tem dimensão 2, igual à multiplicidade algébrica. Como para λ=4 teremos um espaço de dimensão 1, no total obtemos 3 autovetores independentes. Assim A é diagonalizável.

Passo 5

Em caso afirmativo, a matriz diagonal (na ordem de autovalores (1,1,4)) é
D=1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 4

Resposta

T não é ortogonal (pois A^T A≠I) e não é simétrico (A^T≠A). Porém é diagonalizável, e sua forma diagonal (na base de autovetores) é
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 4

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