Verifique se (
) é um subcorpo de (
) em cada um dos seguintes casos:
(OBS.:
é um subcorpo de
quando ambos são corpos e
)
b)
(OBS.:
b)
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
é um subcorpo de
. Foi dado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
e cada elemento de
é uma combinação linear com coeficientes racionais de
e
.
O que devemos responder: afirmar se é (ou não é) subcorpo de
, com justificativa.
O que devemos responder: afirmar se
Passo 2
O que significa ser subcorpo? Vou descrever de forma direta e usável na prova:
Um subconjunto de
é subcorpo se, com as operações herdadas de
,
Um subconjunto
- contém
e ; - é fechado na soma e no produto (isto é,
e ); - contém inversos aditivos (para todo
existe ); - para todo
não nulo existe .
Na prática, para mostrar que algo NÃO é subcorpo basta encontrar uma das propriedades que falha (por exemplo: falta deem , ou falta de fechamento por produto, ou ausência de inverso multiplicativo para algum elemento não nulo).
Passo 3
Verifico elementos simples de
. Tomo
(escolhendo
). Calculo o quadrado:
Se
fosse fechado sob produto, teríamos
. Portanto um teste simples é verificar se
pode ser escrito na forma
com
. Se não puder, então
não é fechado por produto e, logo, não é subcorpo.
Passo 4
Mostro que não existe
tais que
Mais geral: mostro que não existe
e
com
a menos da solução trivial
. Essa propriedade se chama independência linear de
e
sobre
. Prova detalhada:
Suponha que existam
tais que
Se
, então
. Como
, isso forçaria
(se
), o que é falso; logo
e então
. Analogamente, se
obtemos
e
. Portanto os casos com algum coeficiente zero levam à solução trivial.
Agora suponha
e
. A partir de
obtemos, elevando ao quadrado,
Expandindo,
Reescrevo isolando a parte com
:
O lado direito é um número racional (diferença/soma de racionais), logo se
resulta que
é racional (é racional dividido por racional), o que é falso. Portanto não pode acontecer
e
. Logo a única solução possível para a igualdade inicial é
.
Conclusão desta etapa: não existe representação de
(ou de qualquer outro racional não nulo) na forma
. Em particular
.
Passo 5
Com a observação anterior já temos uma falha clara:
mas
. Assim
não é fechado sob produto. Outra consequência imediata:
também, pois se
então, pelo mesmo argumento de independência linear, não existe representação de
como
com
(a menos de
que daria
, não
). Portanto
nem sequer contém o elemento neutro multiplicativo
.
Passo 6
Como pelo menos uma das condições necessárias para ser subcorpo falha (fechamento por produto e presença de
), concluímos que
não é subcorpo de
.
(Fato adicional para aprendizado: o menor subcorpo de que contém
e
é
. Repare que o produto de elementos de
naturalmente gera termos com
e termos racionais, razão pela qual
não é fechado para multiplicação.)
(Fato adicional para aprendizado: o menor subcorpo de
Resposta
Não,
não é subcorpo de
.