Verifique se ( S,+, \cdot ) é um subcorpo de ( \mathbb{R},+, \cdot ) em cada um dos seguintes casos:
(OBS.: S é um subcorpo de K quando ambos são corpos e S \subset K )
b) S=\{a \sqrt{2}+b \sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto S é um subcorpo de \mathbb{R}. Foi dado:
S=\{a\sqrt{2}+b\sqrt{3} \mid a,b\in\mathbb{Q}\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\,S\subset\mathbb{R} e cada elemento de S é uma combinação linear com coeficientes racionais de \sqrt{2} e \sqrt{3}.
O que devemos responder: afirmar se S é (ou não é) subcorpo de \mathbb{R}, com justificativa.

Passo 2

O que significa ser subcorpo? Vou descrever de forma direta e usável na prova:
Um subconjunto S de \mathbb{R} é subcorpo se, com as operações herdadas de \mathbb{R},
  1. contém 0 e 1;
  2. é fechado na soma e no produto (isto é, x,y\in S \Rightarrow x+y\in S e xy\in S);
  3. contém inversos aditivos (para todo x\in S existe -x\in S);
  4. para todo x\in S não nulo existe x^{-1}\in S.
    Na prática, para mostrar que algo NÃO é subcorpo basta encontrar uma das propriedades que falha (por exemplo: falta de 1 em S, ou falta de fechamento por produto, ou ausência de inverso multiplicativo para algum elemento não nulo).

Passo 3

Verifico elementos simples de S. Tomo
x=\sqrt{2}\in S
(escolhendo a=1,b=0). Calculo o quadrado:
x^2=(\sqrt{2})^2=2.
Se S fosse fechado sob produto, teríamos 2\in S. Portanto um teste simples é verificar se 2 pode ser escrito na forma a\sqrt{2}+b\sqrt{3} com a,b\in\mathbb{Q}. Se não puder, então S não é fechado por produto e, logo, não é subcorpo.

Passo 4

Mostro que não existe a,b\in\mathbb{Q} tais que
a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=2.
Mais geral: mostro que não existe a,b\in\mathbb{Q} e q\in\mathbb{Q} com
a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=q,
a menos da solução trivial a=b=q=0. Essa propriedade se chama independência linear de \sqrt{2} e \sqrt{3} sobre \mathbb{Q}. Prova detalhada:
Suponha que existam a,b,q\in\mathbb{Q} tais que
a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=q.
Se a=0, então b\sqrt{3}=q. Como b\in\mathbb{Q}, isso forçaria \sqrt{3}\in\mathbb{Q} (se b\neq 0), o que é falso; logo b=0 e então q=0. Analogamente, se b=0 obtemos a=0 e q=0. Portanto os casos com algum coeficiente zero levam à solução trivial.
Agora suponha a\neq 0 e b\neq 0. A partir de a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=q obtemos, elevando ao quadrado,
(a\sqrt{2}+b\sqrt{3})^2 = q^2.
Expandindo,
2a^2+3b^2+2ab\sqrt{6}=q^2.
Reescrevo isolando a parte com \sqrt{6}:
2ab\sqrt{6} = q^2 - 2a^2 - 3b^2.
O lado direito é um número racional (diferença/soma de racionais), logo se 2ab\neq 0 resulta que \sqrt{6} é racional (é racional dividido por racional), o que é falso. Portanto não pode acontecer a\neq 0 e b\neq 0. Logo a única solução possível para a igualdade inicial é a=b=q=0.
Conclusão desta etapa: não existe representação de 2 (ou de qualquer outro racional não nulo) na forma a\sqrt{2}+b\sqrt{3}. Em particular 2\notin S.

Passo 5

Com a observação anterior já temos uma falha clara: \sqrt{2}\in S mas (\sqrt{2})^2=2\notin S. Assim S não é fechado sob produto. Outra consequência imediata: 1\notin S também, pois se 1\in S então, pelo mesmo argumento de independência linear, não existe representação de 1 como a\sqrt{2}+b\sqrt{3} com a,b\in\mathbb{Q} (a menos de a=b=0 que daria 0, não 1). Portanto S nem sequer contém o elemento neutro multiplicativo 1.

Passo 6

Como pelo menos uma das condições necessárias para ser subcorpo falha (fechamento por produto e presença de 1), concluímos que S não é subcorpo de \mathbb{R}.
(Fato adicional para aprendizado: o menor subcorpo de \mathbb{R} que contém \sqrt{2} e \sqrt{3} é \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\{p+q\sqrt{2}+r\sqrt{3}+s\sqrt{6}\mid p,q,r,s\in\mathbb{Q}\}. Repare que o produto de elementos de S naturalmente gera termos com \sqrt{6} e termos racionais, razão pela qual S não é fechado para multiplicação.)

Resposta

Não, S não é subcorpo de \mathbb{R}.

Exercícios relacionados