No exemplo anterior, e após a máquina estar regulada, programou-se uma carta de controle. De hora em hora, será retirada uma amostra de 4 pacotes, e estes serão pesados. Se a média da amostra for inferior a 495 g ou superior a 520 g para-se a produção para reajustar a máquina, isto é reajustar o peso médio.
a) Qual a probabilidade de ser feita uma parada desnecessária?
b) Se o peso médio da máquina desregulou-se para 500 g , qual a probabilidade de continuar-se a produção fora dos padrões desejados?
c) Para uma população com desvio padrão igual a 10, qual deve se o tamanho da amostra para que a diferença da média amostral para a média populacional, em valor absoluto, seja menor que 1, com probabilidade igual a 0.99?

Passo 1

Aqui estamos trabalhando com uma carta de controle para o peso médio de pacotes, onde se faz uma amostra de tamanho n=4 a cada hora. Sabemos que, após a máquina estar regulada, os limites de controle foram fixados em 495 g e 520 g. O desvio padrão da população é sigma=10 g. Vamos usar a distribuição da média amostral, que é normal com média mu (verdadeira média da máquina) e desvio padrão
sigmabar X = sigmaraizn = 10raiz4 = 5
Com isso poderemos calcular:
  • (a) a probabilidade de parada quando mu está no valor regulado;
  • (b) a probabilidade de produzir fora de controle sem parar, quando mu=500 g;
  • (c) o tamanho n necessário para Prl(|bar X-mu|<1r)=0,99.

Passo 2

(a) Parada desnecessária é o evento bar X<495 ou bar X>520 quando a máquina está regulada. Nesse caso a verdadeira média é o ponto médio dos limites, isto é
mu = 495 + 5202 = 507,5 g
Logo queremos
Prl(bar X<495 ou bar X>520r) =Prl(|bar X-507,5|>12,5r)
Padronizando com Z=(bar X-507,5)/5, temos
Pr(|Z|>2,5) ;=;2l(1-Phi(2,5)r) ;=;2l(1-0,9938r) ;=;2times0,0062 ;=;0,0124

Passo 3

(b) Agora a máquina desregulou para mu=500 g e queremos a probabilidade de não parar (i.e.\ continuar produzindo) mesmo estando fora dos padrões, isto é 495<=bar X<=520. Padronizando:
Prl(495<=bar X<=520r) =Prl(495-5005<= Z<=520-5005r) =Pr(-1<= Z<=4)
Usando valores da normal padrão, Phi(4)approx0,99997 e Phi(-1)=1-Phi(1)=1-0,8413=0,1587, então
Pr(-1<= Z<=4) =0,99997-0,1587 approx0,8413

Passo 4

(c) Queremos n tal que
Prl(|bar X-mu|<1r)=0,99
Isso equivale a
Prl(|Z|<1sigma/raiznr)=0,99,
onde sigma/raizn=10/raizn. Seja z0,995 o ponto em que Pr(|Z|<z0,995)=0,99; sabemos z0,995approx2,576. Logo
110/raizn = 2,576 Longrightarrow raizn = 10times2,576 = 25,76 Longrightarrow n = (25,76)^2 approx663,1
Como n deve ser inteiro, tomamos n=664.

Resposta

(a) 0,0124
(b) 0,8413
(c) n=664

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