Exemplo 1 (Binomial): Uma prova tem 10 questões independentes. Cada questão tem 4 alternativas, sendo que apenas uma é correta. Se um aluno assinalar as questões de maneira aleatória, responda os itens abaixo:
Seja:
X : número de acertos Rightarrow X=(0,1,2, ldots, 10)
Evento A: Acertar Rightarrow P(A)=14 X sim Binomial (10 ; 14)
N=10
P(X=xi)=CN, x p^x q^(N-x)
a) Qual é a probabilidade de acertar 6 questões? Resp.: 0.016222
No R: dbinom(6,10,0.25)
b) Qual é a probabilidade de acertar pelo menos 2 questões? Resp.: 0.7559748
c) Qual é a probabilidade de acertar no máximo 1 questão? Resp.: 0.2440252
d) Qual é a probabilidade de acertar no máximo 9 questões? Resp.: 0.999999
  • Função no R para Distribuição Binomial: dbinom() e pbinom()

Passo 1

O enunciado diz que um aluno responde aleatoriamente 10 questões independentes, cada uma com probabilidade de acerto p=tfrac14. Definimos X como o número de acertos, logo
XsimBinomiall(n=10,;p=tfrac14r)
e sua função massa de probabilidade é
Pl(X=xr)=binom10x,p^,x,(1-p)^,10-x,

Passo 2

Para o item (a) queremos
Pl(X=6r) =binom106l(tfrac14r)^6l(tfrac34r)^4
Calculando binom106=210 e substituindo, obtemos
Pl(X=6r) =210cdot14^6cdot3^44^4 =210cdot814^10 approx0,016222

Passo 3

Para o item (b) queremos a probabilidade de pelo menos 2 acertos, isto é
Pl(X>=2r) =1-Pl(X<=1r) =1-l[P(X=0)+P(X=1)r]
Aqui
P(X=0)=l(tfrac34r)^10, P(X=1)=binom101l(tfrac14r)l(tfrac34r)^9
Fazendo as contas, resulta
Pl(X>=2r)approx0,7559748

Passo 4

Para o item (c) queremos a probabilidade de no máximo 1 acerto, ou seja
Pl(X<=1r) =P(X=0)+P(X=1) approx0,2440252

Passo 5

Para o item (d) queremos a probabilidade de no máximo 9 acertos, isto é
Pl(X<=9r) =1-P(X=10) =1-l(tfrac14r)^10 approx0,999999

Resposta

a) 0,016222
b) 0,7559748
c) 0,2440252
d) 0,999999

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