Usando a definição de derivada, calcule f^{\prime}(p), onde f e p são dados abaixo. \left.f(x)=\frac{1}{x} \right\rvert\,, \quad p=2
Passo 1
O enunciado pede para calcular f^{\prime}(p) onde a função e o ponto são:
f(x)=\frac{1}{x},\qquad p=2.
Informações relevantes dadas:
A função é f(x)=\dfrac{1}{x}.
O ponto em que queremos a derivada é p=2.
Como f(x) não está definida em x=0, devemos ter cuidado com incrementos que tornem p+h=0; aqui p=2 é seguro.
Passo 2
Definição de derivada (o que vamos usar): para uma função f e um ponto p em que f é definida, a derivada de f em p é
f'(p)=\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h},
quando esse limite existe. Explicando como um amigo: h é um pequeno acréscimo no x; a fração \dfrac{f(p+h)-f(p)}{h} mede a “taxa média de variação” de f perto de p; a derivada é o limite dessa taxa média quando h vai a zero, ou seja, a taxa instantânea (a inclinação da tangente).
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso, com f(x)=\dfrac{1}{x} e p=2, montamos a diferença quociente:
Como checagem rápida (só para você ver que bate): se soubéssemos a regra de derivar x^{-1}, teríamos (x^{-1})'=-x^{-2}, e em x=2 isso dá -2^{-2}=-\tfrac{1}{4} — mesmo resultado.
Passo 7
Resumo didático final (como lembrar na prova): aplicar a definição, juntar frações no numerador, cancelar o h que aparece em numerador e denominador, e então avaliar o limite. Se quiser generalizar, repetindo o processo para p genérico dá f'(p)=-\dfrac{1}{p^{2}}.