Usando a definição de derivada, calcule f^{\prime}(p), onde f e p são dados abaixo.
\left.f(x)=\frac{1}{x} \right\rvert\,, \quad p=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular f^{\prime}(p) onde a função e o ponto são:
f(x)=\frac{1}{x},\qquad p=2.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • O ponto em que queremos a derivada é p=2.
  • Como f(x) não está definida em x=0, devemos ter cuidado com incrementos que tornem p+h=0; aqui p=2 é seguro.

Passo 2

Definição de derivada (o que vamos usar): para uma função f e um ponto p em que f é definida, a derivada de f em p é
f'(p)=\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h},
quando esse limite existe. Explicando como um amigo: h é um pequeno acréscimo no x; a fração \dfrac{f(p+h)-f(p)}{h} mede a “taxa média de variação” de f perto de p; a derivada é o limite dessa taxa média quando h vai a zero, ou seja, a taxa instantânea (a inclinação da tangente).

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso, com f(x)=\dfrac{1}{x} e p=2, montamos a diferença quociente:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}}{h}.
Observação: aqui precisamos de h\neq0 ao manipular a fração, e também 2+h\neq0 (mas quando h\to0 isso não é problema, pois 2+h tende a 2).

Passo 4

Vamos simplificar o numerador juntando as frações com denominador comum:
\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}=\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}.
Explicando cada passo: para somar \dfrac{1}{2+h} e -\dfrac{1}{2} usamos o denominador comum 2(2+h). No numerador fica 1\cdot 2 - 1\cdot(2+h)=2-(2+h).

Passo 5

Continuando a simplificação do quociente:
\frac{\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}}{h}=\frac{\dfrac{2-(2+h)}{2(2+h)}}{h}=\frac{\dfrac{-h}{2(2+h)}}{h}.
Agora dividimos por h: ao dividir a fração por h podemos multiplicar pelo inverso, e o fator h no numerador cancela com esse h do denominador. Assim:
\frac{\dfrac{-h}{2(2+h)}}{h}=\frac{-h}{2(2+h)}\cdot\frac{1}{h}=\frac{-1}{2(2+h)}.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to0. Como a expressão \dfrac{-1}{2(2+h)} é contínua em h perto de 0, podemos substituir h=0 diretamente:
f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{-1}{2(2+h)}=\frac{-1}{2\cdot 2}=\frac{-1}{4}.
Como checagem rápida (só para você ver que bate): se soubéssemos a regra de derivar x^{-1}, teríamos (x^{-1})'=-x^{-2}, e em x=2 isso dá -2^{-2}=-\tfrac{1}{4} — mesmo resultado.

Passo 7

Resumo didático final (como lembrar na prova): aplicar a definição, juntar frações no numerador, cancelar o h que aparece em numerador e denominador, e então avaliar o limite. Se quiser generalizar, repetindo o processo para p genérico dá f'(p)=-\dfrac{1}{p^{2}}.

Resposta

-\dfrac{1}{4}

Exercícios relacionados