Usando a definição de derivada, calcule
, onde
e
são dados abaixo.
e
.
Passo 1
O problema pede para calcular
quando a função e o ponto são:
e
Informações relevantes dadas:
A tarefa é usar a definição de derivada para encontrar o valor de
.
Passo 2
Vou usar a definição de derivada num ponto usando incremento
:
Explicando:
é um pequeno deslocamento em
. A expressão dentro do limite é a “taxa média de variação” de
entre
e
. Quando fazemos
estamos encontrando a taxa instantânea (a derivada) no ponto
.
Passo 3
Calcule
e
substituindo
.
Primeiro,
E
Agora o numerador da diferença quociente é
Passo 4
Substituindo no quociente e simplificando:
Como a expressão é constante igual a
para todos os pequenos
, o limite quando
é simplesmente
Portanto
. Observação: essa conta mostra que a derivada de
é
em qualquer ponto, então em particular em
é
.
Passo 5
Checagem numérica rápida (só para sentir o resultado): escolha
,
Confirmou o que o limite entregou.