Usando a definição de derivada, calcule f^{\prime}(p), onde f e p são dados abaixo.
f(x)=3 x-4 e p=3.

Passo 1

O problema pede para calcular f^{\prime}(p) quando a função e o ponto são:
f(x)=3x-4
e
p=3.
Informações relevantes dadas:
\text{a função }f(x)\text{ é linear e as constantes são }3\text{ (coeficiente de }x)\text{ e }-4.çãéã
A tarefa é usar a definição de derivada para encontrar o valor de f^{\prime}(p).

Passo 2

Vou usar a definição de derivada num ponto usando incremento h:
f^{\prime}(p)=\lim_{h\to0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}.
Explicando: h é um pequeno deslocamento em x. A expressão dentro do limite é a “taxa média de variação” de f entre p e p+h. Quando fazemos h\to0 estamos encontrando a taxa instantânea (a derivada) no ponto p.

Passo 3

Calcule f(p+h) e f(p) substituindo f(x)=3x-4.
Primeiro,
f(p+h)=3(p+h)-4=3p+3h-4.
E
f(p)=3p-4.
Agora o numerador da diferença quociente é
f(p+h)-f(p)=(3p+3h-4)-(3p-4)=3h.

Passo 4

Substituindo no quociente e simplificando:
\frac{f(p+h)-f(p)}{h}=\frac{3h}{h}=3\quad\text{(para }h\neq0\text{)}.
Como a expressão é constante igual a 3 para todos os pequenos h\neq0, o limite quando h\to0 é simplesmente
\lim_{h\to0}3=3.
Portanto f^{\prime}(p)=3. Observação: essa conta mostra que a derivada de f(x)=3x-4 é 3 em qualquer ponto, então em particular em p=3 é 3.

Passo 5

Checagem numérica rápida (só para sentir o resultado): escolha h=0,01,
\frac{f(3+0,01)-f(3)}{0,01}=\frac{3(3,01)-4-(3\cdot3-4)}{0,01}=\frac{9,03-4-9+4}{0,01}=\frac{0,03}{0,01}=3.
Confirmou o que o limite entregou.

Resposta

3

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