Dê um exemplo em cada caso.
(h) Uma função f que é contínua em todo seu domínio, mas não é derivável em x=0 e x=1.
Passo 1
O enunciado pede uma função f que seja contínua em todo o seu domínio (que vamos tomar como \mathbb{R}) mas que não seja derivável em x=0 e em x=1. Para isso, lembramos que a função valor absoluto é contínua em \mathbb{R} e tem “canto” (não derivável) exatamente em x=0.
Passo 2
Uma forma simples de criar não derivabilidade em dois pontos é somar dois valores absolutos deslocados. Definimos
f(x) = \lvert x\rvert + \lvert x-1\rvert.
Como soma de funções contínuas, f é contínua em todo \mathbb{R}.
Em x=0:
– Derivada lateral esquerda: \frac{d}{dx}\lvert x\rvert\big|_{0^-}=-1 e \frac{d}{dx}\lvert x-1\rvert\big|_{0^-}=-1, soma -2.
– Derivada lateral direita: \frac{d}{dx}\lvert x\rvert\big|_{0^+}=+1 e \frac{d}{dx}\lvert x-1\rvert\big|_{0^+}=-1, soma 0.
Como essas duas não coincidem, f não é derivável em 0.
Em x=1:
– Derivada lateral esquerda: \frac{d}{dx}\lvert x\rvert\big|_{1^-}=+1 e \frac{d}{dx}\lvert x-1\rvert\big|_{1^-}=-1, soma 0.
– Derivada lateral direita: \frac{d}{dx}\lvert x\rvert\big|_{1^+}=+1 e \frac{d}{dx}\lvert x-1\rvert\big|_{1^+}=+1, soma 2.
Novamente as derivadas laterais batem diferente, logo não existe derivada em 1.