Dê um exemplo em cada caso.
(i) Uma função f que é contínua em todo seu domínio, mas não é derivável em x=0 e em x=2.

Passo 1

O enunciado pede uma função f contínua em todo o seu domínio, mas que falhe em ser derivável nos pontos x=0 e x=2. Vamos usar a propriedade de que a função valor absoluto \lvert x-a\rvert é contínua em \mathbb{R} mas não é derivável em x=a.

Passo 2

Tomemos
f(x)=\lvert x\rvert+\lvert x-2\rvert.
Cada termo \lvert x\rvert e \lvert x-2\rvert é contínuo em \mathbb{R}, logo f é contínua em todo o \mathbb{R}.

Passo 3

Para ver que f\) não é derivável em \(x=0\) e em \(x=2\), calculamos as derivadas laterais usando a regra \(\frac{d}{dx}\lvert x-a\rvert=\begin{cases}+1,&x>a,\\\ -1,&x<a.\end{cases} Em x=0:
f'(0^-)=\bigl(-1\bigr)+\bigl(-1\bigr)=-2, \quad f'(0^+)=\bigl(+1\bigr)+\bigl(-1\bigr)=0.
Como f'(0^-)\neq f'(0^+), f não é derivável em x=0.
Em x=2:
f'(2^-)=\bigl(+1\bigr)+\bigl(-1\bigr)=0, \quad f'(2^+)=\bigl(+1\bigr)+\bigl(+1\bigr)=2.
Como f'(2^-)\neq f'(2^+), f não é derivável em x=2.

Resposta

Um exemplo é
f(x)=\lvert x\rvert+\lvert x-2\rvert,
que é contínua em \mathbb{R} mas não é derivável em x=0 nem em x=2.

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