Dê um exemplo de cada um dos seguintes:
Uma base ortonormal para R^3, incluindo o vetor q1=(1,1,1) / raiz3.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos uma base ortonormal de R^3 que contenha o vetor
q1 = (1,1,1)raiz3. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt para obter dois vetores adicionais q2 e q3 que fiquem ortogonais a q1 e entre si, e depois normalizá-los.

Passo 2

Escolhemos um vetor inicial qualquer que não seja paralelo a q1, por exemplo
v2 = (1,-1,0). Calculamos a projeção de v2 sobre q1:
projq1(v2) = l(v2cdotq1r),q1 = l(tfrac1-1+0raiz3r),q1 = 0
Como a projeção é zero, v2 já é ortogonal a q1. Basta normalizá-lo:
|v2| = raiz1^2+(-1)^2+0^2 = raiz2, q2 = v2|v2| = (1,-1,0)raiz2

Passo 3

Para obter q3 ortogonal tanto a q1 quanto a q2, usamos o produto vetorial e depois normalizamos:
u3 = q1timesq2 = (1,1,1)raiz3times(1,-1,0)raiz2 = (1,1,-2)raiz6,
onde já foi feita a normalização pois
|(1,1,-2)| = raiz1+1+4=raiz6. Logo
q3 = (1,1,-2)/raiz6.

Resposta

Uma base ortonormal de R^3 contendo q1 é
l, q1 = (1,1,1)raiz3,; q2 = (1,-1,0)raiz2,; q3 = (1,1,-2)raiz6 r

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