Se A tem três colunas ortogonais de comprimentos 1,2,3, quem é A^T A?

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz cujas três colunas são mutuamente ortogonais e têm comprimentos ,1,2,3. O que precisamos usar aqui é que
,A^T A é a matriz de Gram dos vetores-coluna de A, ou seja,
(A^T A)ij = lang<= ai, ajrang<=,
onde ai é a i-ésima coluna de A.

Passo 2

Como as colunas são ortogonais, para ineq j temos
lang<= ai,ajrang<= = 0
Logo todos os elementos fora da diagonal principal de A^T A são zero.

Passo 3

Na diagonal principal aparecem os produtos internos de cada coluna consigo mesma, que são os quadrados dos comprimentos:
lang<= a1,a1rang<= = 1^2, lang<= a2,a2rang<= = 2^2, lang<= a3,a3rang<= = 3^2

Resposta

A^T A = 1 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 9 .

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