Os vetores (2,2,-1) e (-1,2,2) são ortogonais. Divida-os por seus comprimentos para encontrar os vetores ortonormais q1 e q2. Coloque-os nas colunas de Q e multiplique Q^T Q e Q Q^T.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em R^3,
v1 = (2,2,-1), v2 = (-1,2,2),
que já são ortogonais. O objetivo é normalizá-los para obter um conjunto ortonormal q1,q2, formar a matriz Q cujas colunas são esses vetores e, por fim, calcular Q^T Q e Q Q^T. Vamos precisar usar a definição de norma euclidiana e propriedades de produtos matriciais.

Passo 2

Calcular as normas de v1 e v2 e dividir cada vetor pelo seu comprimento:
|v1| = raiz2^2+2^2+(-1)^2 = raiz9=3, |v2| = raiz(-1)^2+2^2+2^2 = raiz9=3
Logo os vetores normalizados são
q1 = 13(2,2,-1) = l(tfrac23,tfrac23,-tfrac13r), q2 = 13(-1,2,2) = l(-tfrac13,tfrac23,tfrac23r)

Passo 3

Formamos a matriz QinR^3times2 com q1,q2 como colunas:
Q = tfrac23 & -tfrac13[6pt] tfrac23 & tfrac23[6pt] -tfrac13& tfrac23
Para calcular Q^T Q, usamos o fato de que q1 e q2 são unitários e mutuamente ortogonais, portanto
Q^T Q = q1cdot q1 & q1cdot q2[4pt] q2cdot q1 & q2cdot q2 = 1 & 0[4pt] 0 & 1 = I2 ]

Passo 4

Para Q Q^TinR^3times3 usamos a soma de produtos externos:
Q Q^T = q1 q1^T + q2 q2^T
Calculando termo a termo chega-se a
Q Q^T = 19 5 & 2 & -4[4pt] 2 & 8 & 2[4pt] -4 & 2 & 5 ]

Resposta

q1 = l(tfrac23,tfrac23,-tfrac13r) q2 = l(-tfrac13,tfrac23,tfrac23r)
Q = tfrac23 & -tfrac13[6pt] tfrac23 & tfrac23[6pt] -tfrac13& tfrac23 , Q^T Q = I2, Q Q^T = 19 5 & 2 & -4[4pt] 2 & 8 & 2[4pt] -4 & 2 & 5 ]

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