Dê um exemplo de cada um dos seguintes:
Uma matriz Q que tem colunas ortonormais mas Q Q^T neq I.

Passo 1

O enunciado pede uma matriz Q cujas colunas sejam ortonormais, ou seja,
Q^TQ = I,
mas tal que
QQ^T neq I
Em geral, isso acontece quando Q é retangular “mais alta” (mais linhas do que colunas), pois aí as colunas podem ser ortonormais entre si sem preencher todo o espaço.

Passo 2

Vamos construir uma matriz QinR^3times2 cujas duas colunas sejam vetores ortonormais em R^3. Tomemos as duas primeiras colunas da matriz identidade de ordem 3:
Q = 1 & 0 0 & 1 0 & 0
As colunas são
,(1,0,0)^T e (0,1,0)^T, que têm norma 1 e são ortogonais, logo
Q^TQ = 1&0&00&1&01&00&10&0 = 1&00&1 = I2
Mas
QQ^T = 1&0 0&1 0&0 1&0&0 0&1&0 = 1&0&0 0&1&0 0&0&0 neq I3

Resposta

Q = 1 & 0 0 & 1 0 & 0

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