Estes pares de vetores são ortonormais, apenas ortogonais ou apenas independentes?
[ccos theta sin theta] e [c-sin theta cos theta]

Passo 1

O enunciado nos dá o par de vetores em R^2
v = costhetasintheta, w = -sinthetacostheta,
e pede para classificá-los em termos de ortogonalidade, normalização e independência. Vamos usar produto interno, norma de vetores e critério de independência linear.

Passo 2

Calculamos o produto interno lang<= v,wrang<=:
lang<= v,wrang<= = costhetacdot(-sintheta) + sinthetacdotcostheta = -costhetasintheta + sinthetacostheta = 0
Como lang<= v,wrang<==0, os vetores são ortogonais.

Passo 3

Verificamos as normas:
|v| = raizcos^2theta + sin^2theta = 1, |w| = raiz(-sintheta)^2 + cos^2theta = 1
Cada vetor tem norma unitária, logo são normalizados.

Passo 4

Dois vetores ortogonais de norma 1 formam uma base ortonormal de R^2 e, portanto, também são linearmente independentes.

Resposta

O par de vetores é ortonormal.

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