Exemplo 4. Calcular a área delimitada pela circunferência de equação \underline{x^{2}+y^{2}=a^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região interior à circunferência de equação x^{2}+y^{2}=a^{2}. O conteúdo usado será cálculo de integrais duplas em coordenadas polares, aproveitando que a simetria circular facilita a conta.

Passo 2

Fazemos a troca para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com Jacobiano r. A região D é dada por
0 \le r \le a,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.
A área é
A = \iint_{D} dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculamos a integral interna em r:
\int_{0}^{a} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{a} = \frac{a^{2}}{2}.
Logo
A = \int_{0}^{2\pi} \frac{a^{2}}{2}\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos em \theta:
A = \frac{a^{2}}{2}\,\bigl(\theta\bigr)\Big|_{0}^{2\pi} = \frac{a^{2}}{2}\,(2\pi) = \pi a^{2}.

Resposta

\pi a^{2}

Exercícios relacionados