Exemplo 4. Calcular a área delimitada pela circunferência de equação \underline{x^{2}+y^{2}=a^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região interna à circunferência de equação \,x^{2}+y^{2}=a^{2}.
O conteúdo principal aqui é cálculo de área via coordenadas polares, usando que em polares temos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares, a circunferência vira r=a e a região interna é
0 \le r \le a,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.
Logo, a área A é dada pela integral dupla
A = \iint_{R} dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{a} r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral em r:
\int_{r=0}^{a} r\,dr = \left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{a} = \frac{a^{2}}{2}.

Passo 4

Agora integramos em \theta:
A = \int_{\theta=0}^{2\pi} \frac{a^{2}}{2}\,d\theta = \frac{a^{2}}{2}\,\bigl[\,\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{a^{2}}{2}\,(2\pi) = \pi\,a^{2}.

Resposta

A área delimitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=a^{2} é \pi\,a^{2}.

Exercícios relacionados