Exemplo 1: Calcular I=\iiint_{T}\left(x^{2}+y^{2}\right) d V, onde T é a região delimitada pelo plano x y, pelo parabolóide z=x^{2}+y^{2} e pelo cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \iiint_{T} (x^{2} + y^{2})\,dV
onde T é a região limitada pelo plano z=0, pelo paraboloide z = x^{2}+y^{2} e pelo cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2}. O conteúdo envolve integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
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x^{2}+y^{2} = r^{2},\quad dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

Precisamos determinar os limites de integração em (r,\theta,z):
r varia de 0 a a (dentro do cilindro),
\theta varia de 0 a 2\pi,
z varia de 0 (plano) até r^{2} (paraboloide).

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
I = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a}\!\int_{0}^{r^{2}} (r^{2})\,(r\,dz\,dr\,d\theta) = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a}\!\int_{0}^{r^{2}} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{r^{2}} r^{3}\,dz = r^{3}\bigl[z\bigr]_{0}^{r^{2}} = r^{3}\cdot r^{2} = r^{5}.
Então
I = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a} r^{5}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Agora integramos em r e depois em \theta:
\int_{0}^{a} r^{5}\,dr = \frac{a^{6}}{6}, \quad \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
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I = 2\pi \cdot \frac{a^{6}}{6} = \frac{\pi a^{6}}{3}.

Resposta

I = \frac{\pi\,a^{6}}{3}.

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