Exemplo 2.5. Calcular y^prime, sendo y=x^3-1x^3+1
Solução. Aplicando a fórmula para a derivada de um quociente, temos
y^prime & =(x^3-1x^3+1)^prime=(x^3-1)^prime(x^3+1)-(x^3+1)^prime(x^3-1)(x^3+1)^2 & =3 x^2(x^3+1)-3 x^2(x^3-1)(x^3+1)^2 & =6 x^2(x^3+1)^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x^3-1x^3+1
Este é um caso de quociente de funções, então vamos usar a regra
l(tfracuvr)' = u',v - v',uv^2,
onde u(x)=x^3-1 e v(x)=x^3+1.

Passo 2

Calcular as derivadas de u e v:
u'(x) = (x^3-1)' = 3x^2, v'(x) = (x^3+1)' = 3x^2

Passo 3

Aplicar a fórmula do quociente:
y' = u',v - v',uv^2 = 3x^2(x^3+1) - 3x^2(x^3-1)(x^3+1)^2

Passo 4

Fatorar 3x^2 no numerador e simplificar:
y' = 3x^2l[(x^3+1) - (x^3-1)r](x^3+1)^2 = 3x^2cdot 2(x^3+1)^2 = 6x^2(x^3+1)^2

Resposta

y' = 6x^2(x^3+1)^2

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