Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
sumn=1^infty 1+4^n1+3^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série sumn=1^infty 1+4^n1+3^n utilizando o teste da comparação. O conteúdo da matéria é séries numéricas de termos positivos e vamos precisar comparar a série dada com uma série geométrica conhecida.

Passo 2

Observe que para grande n, o termo geral an=1+4^n1+3^n é dominado pelos termos exponenciais, pois 4^n cresce mais rápido que 3^n. Logo, an se comporta como (4/3)^n quando n é grande.
Para aplicar o teste da comparação, note que para todo n>=1 temos 1+3^n<=2cdot3^n. Assim,
an=1+4^n1+3^n>=4^n1+3^n>=4^n2cdot3^n=12l(43r)^n

Passo 3

A série comparada é sumn=1^infty12l(tfrac43r)^n, que é uma série geométrica com razão r=4/3>1 e, portanto, diverge. Como a série inicial tem termos maiores que os de uma série divergente, ela também diverge por comparação.

Resposta

A série diverge.

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