Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
sumn=1^infty n2 n^3+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty n2n^3+1 usando o teste da comparação. O conteúdo envolve séries numéricas e o teste de comparação, e vamos precisar também do resultado sobre a convergência de p-séries.

Passo 2

Identificamos o termo geral an = n2n^3+1. Para aplicar o teste da comparação, escolhemos comparar com uma p-série do tipo sum 1n^p.
Observamos que para todo n>=1 vale 2n^3+1>=2n^3. Portanto,
an = n2n^3+1 <= n2n^3 = 12n^2

Passo 3

Sabemos que sumn=1^infty 12n^2 = tfrac12sumn=1^infty 1n^2 é convergente, pois é p-série com p=2>1. Assim, pelo teste da comparação, a série dada também converge.

Resposta

A série converge por comparação com a p-série de parâmetro 2.

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