Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
sumn=1^infty sin (1n^2)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=1^inftysinl(tfrac1n^2r)
usando o Teste da Comparação (ou Comparação no Limite) para séries de termos não negativos.

Passo 2

Observamos que, para todo x>=0, vale a desigualdade
sin(x)<= x
Como 1/n^2>=0, temos
sin!l(tfrac1n^2r);<=;tfrac1n^2

Passo 3

A série
sumn=1^infty1n^2
é uma série p com p=2>1, logo converge. Pelo Teste da Comparação Direta, como
sin(1/n^2)<=1/n^2
e sum1/n^2 converge, concluímos que
sumn=1^inftysinl(tfrac1n^2r)
também converge.

Resposta

A série converge.

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