Utilize o teste da integral para dizer se as seguintes séries convergem.
sumn=1^infty 1raiz[5]n

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da integral à série
sumn=1^infty1raiz[5]n
O conteúdo é o teste da integral: se f é contínua, positiva e decrescente em [1,infty), então sumn=1^infty f(n) converge se, e somente se,
integral1^infty f(x),dx
converge.

Passo 2

Definimos
f(x)=x^-1/5
Para x>=1, f(x)>0. A derivada
f'(x) = -tfrac15x^-6/5
é negativa, logo f é decrescente. Assim podemos usar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria:
integral1^infty x^-1/5,dx = limttoinftyintegral1^t x^-1/5,dx = limttoinfty[x^4/54/5]1^t = limttoinfty54l(t^4/5-1r)
Como t^4/5toinfty quando ttoinfty, a integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como
integral1^infty x^-1/5,dx
diverge, a série
sumn=1^inftyn^-1/5
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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