Exercício 1 Calcule.
b) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}+x^{2}}{3 x^{3}+x^{4}+x}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}+x^{2}}{3 x^{3}+x^{4}+x}.
Informações dadas: o numerador é o polinômio x^{3}+x^{2} e o denominador é o polinômio 3x^{3}+x^{4}+x. O ponto de interesse é x=0.

Passo 2

Observação inicial sobre indeterminação: ao substituir x=0 diretamente, o numerador vira 0 e o denominador também vira 0, então temos uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Nesses casos é comum tentar simplificar a expressão fatorando fatores comuns.
Fatorando o numerador e o denominador por seus fatores comuns:
x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1), \qquad 3x^{3}+x^{4}+x = x(3x^{2}+x^{3}+1).

Passo 3

Como as duas expressões têm um fator comum x, para x\neq 0 podemos cancelar esse fator. Isso é permitido porque o limite considera valores de x que se aproximam de 0 mas não precisam ser iguais a 0. Após cancelar um x obtemos, para x\neq 0,
\frac{x^{3}+x^{2}}{3 x^{3}+x^{4}+x} = \frac{x^{2}(x+1)}{x(3x^{2}+x^{3}+1)} = \frac{x(x+1)}{3x^{2}+x^{3}+1}.

Passo 4

Agora usamos propriedades de limites e continuidade. Polinômios e somas de polinômios são funções contínuas, logo podemos calcular o limite substituindo o valor limite nas partes que já são bem definidas:
Calcule o limite do numerador simplificado:
\lim_{x\to 0} x(x+1) = \left(\lim_{x\to 0} x\right)\left(\lim_{x\to 0} (x+1)\right) = 0 \cdot 1 = 0.
Calcule o limite do denominador simplificado:
\lim_{x\to 0} (3x^{2}+x^{3}+1) = 3\cdot 0^{2} + 0^{3} + 1 = 1.
Como o limite do denominador é 1 (não zero), podemos dividir:
\lim_{x\to 0} \frac{x(x+1)}{3x^{2}+x^{3}+1} = \frac{0}{1} = 0.
Observação rápida sobre método: outra abordagem seria aplicar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador), o que também dá 0. Escolhi a fatoração e cancelamento porque é mais direto e evita derivadas desnecessárias — útil em prova quando se quer economizar tempo.

Resposta

0

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