Exemplo: Calcule a derivada e interprete os resultados das funções abaixo:
  1. Seja R T(x)=R_{1}(x)+R_{2}(x), com R_{1}(x)=2 x^{2} e R_{2}(x)=3 x
  2. Dado a função y=14 x^{3}, de modo que y pode ser considerada como a soma de duas funções f(x)=5 x^{3} e \mathrm{g}(x)=9 x^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de duas funções escritas como soma de parcelas e depois interpretar o resultado à luz da regra da soma de derivadas. O conteúdo é a regra da derivada de soma, que diz que
\bigl(u(x)+v(x)\bigr)' = u'(x) + v'(x).
Vamos aplicá-la às duas partes do exercício.

Passo 2

Para R_T(x)=R_1(x)+R_2(x) com R_1(x)=2x^2 e R_2(x)=3x, calculamos cada derivada:
R_1'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^2\bigr)=4x, \qquad R_2'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr)=3.
Pela regra da soma,
R_T'(x)=R_1'(x)+R_2'(x)=4x+3.
Interpretação: R_1'(x)=4x é a taxa de variação de R_1 em relação a x, e R_2'(x)=3 é a taxa constante de R_2. A derivada total R_T'(x)=4x+3 mostra que a variação de R_T é simplesmente a soma dessas duas contribuições.

Passo 3

Para y=14x^3, escrevendo y=f(x)+g(x) com f(x)=5x^3 e g(x)=9x^3, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^3\bigr)=15x^2, \qquad g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(9x^3\bigr)=27x^2.
Logo,
y'(x)=f'(x)+g'(x)=15x^2+27x^2=42x^2,
que coincide com a derivada direta de 14x^3.
Interpretação: f'(x)=15x^2 e g'(x)=27x^2 são as taxas parciais de f e g. A derivada total y'(x)=42x^2 é a soma dessas taxas, confirmando a regra da soma.

Resposta

  1. R_T'(x)=4x+3. Interpretação: variação total é a soma de 4x (de 2x^2) e de 3 (de 3x).
  2. y'(x)=42x^2. Interpretação: variação total é a soma de 15x^2 (de 5x^3) e de 27x^2 (de 9x^3).

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