Questão 4. Encontre os valores de \mathrm{A}, \mathrm{B} e C de tal forma que campo vetorial
\boldsymbol{F}(x, y, z)=\left(A y^{2} \cos \left(x y^{2}\right)-6 x z \operatorname{sen}\left(x^{2} z\right), 4 x y \cos \left(x y^{2}\right)+\mathrm{B} z^{2} \cos \left(y z^{2}\right), \mathrm{C} x^{2} \operatorname{sen}\left(x^{2} z\right)-8 y z \cos \left(y z^{2}\right)\right) seja conservativo. Para estes valores \mathrm{A}, \mathrm{B} e C calcule \int_{(0,0,0)}^{(1,1,1)} \mathrm{F} d s (Campo conneriatero)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Encontrar os valores de \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C} tais que o campo vetorial
\boldsymbol{F}(x,y,z)=\big(P,Q,R\big)
com
P=A y^{2}\cos(xy^{2})-6 x z \sin(x^{2}z),
Q=4 x y \cos(xy^{2})+B z^{2}\cos(y z^{2}),
R=C x^{2}\sin(x^{2}z)-8 y z \cos(y z^{2})
seja conservativo.
2. Para esses valores, calcular o integral de linha
\int_{(0,0,0)}^{(1,1,1)}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{s}.
Informações relevantes dadas:
  • O campo está definido em \mathbb{R}^{3} (domínio sem buracos), logo se \nabla\times\boldsymbol{F}=0 então \boldsymbol{F} é conservativo.
  • Precisamos determinar \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C} impondo as condições de campo conservativo e depois usar uma potencial escalar para calcular a integral de linha.

Passo 2

Conceito necessário (explicado curto e prático): para um campo \boldsymbol{F}=(P,Q,R) definido em domínio simplesmente conexo, ele é conservativo se e somente se o rotacional for nulo. Isso dá as três igualdades parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\qquad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}.
Vamos aplicar essas igualdades para achar \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}. Explico cada derivada enquanto a faço.

Passo 3

Calcular \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x para obter \mathrm{A}.
Começando por P:
P=A y^{2}\cos(xy^{2})-6 x z \sin(x^{2}z).
Derivando em relação a y: para A y^{2}\cos(xy^{2}) usamos regra do produto:
\frac{\partial}{\partial y}\big(A y^{2}\cos(xy^{2})\big) = A\big(2y\cos(xy^{2}) + y^{2}\cdot(-\sin(xy^{2}))\cdot(2xy)\big).
Simplificando:
\frac{\partial P}{\partial y}=A\big(2y\cos(xy^{2}) - 2x y^{3}\sin(xy^{2})\big).
O segundo termo de P não depende de y, então não contribui.
Agora Q:
Q=4xy\cos(xy^{2})+B z^{2}\cos(y z^{2}).
Derivando em relação a x: o segundo termo não depende de x, então
\frac{\partial Q}{\partial x}=4y\cos(xy^{2}) + 4xy\cdot(-\sin(xy^{2}))\cdot(y^{2}) =4y\cos(xy^{2})-4x y^{3}\sin(xy^{2}).
Impondo \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x:
A\big(2y\cos -2xy^{3}\sin\big)=4y\cos-4x y^{3}\sin.
Comparando coeficientes, obtemos 2A=4, logo
\mathrm{A}=2.

Passo 4

Calcular \partial P/\partial z e \partial R/\partial x para obter \mathrm{C}.
Relembrando P (com \mathrm{A}=2, mas não precisamos substituir agora para derivar):
P=\;2 y^{2}\cos(xy^{2})-6 x z \sin(x^{2}z).
Derivando em z: o primeiro termo independe de z; para -6 x z \sin(x^{2}z) usamos produto:
\frac{\partial}{\partial z}\big(-6 x z \sin(x^{2}z)\big) =-6x\big(\sin(x^{2}z) + z\cos(x^{2}z)\cdot(x^{2})\big).
Logo
\frac{\partial P}{\partial z}=-6x\sin(x^{2}z)-6x^{3}z\cos(x^{2}z).
Agora R:
R=C x^{2}\sin(x^{2}z)-8 y z \cos(y z^{2}).
Derivando em x (segundo termo independe de x):
\frac{\partial R}{\partial x}=2C x\sin(x^{2}z) + C x^{2}\cos(x^{2}z)\cdot(2xz) =2C x\sin(x^{2}z)+2C x^{3}z\cos(x^{2}z).
Impondo \partial P/\partial z=\partial R/\partial x:
-6x\sin -6x^{3}z\cos = 2C x\sin + 2C x^{3}z\cos.
Dividindo por x (identidade como funções), obtemos
-6\sin -6x^{2}z\cos = 2C\sin + 2C x^{2}z\cos.
Comparando coeficientes (do \sin e do \cos), temos 2C=-6, logo
\mathrm{C}=-3.

Passo 5

Calcular \partial Q/\partial z e \partial R/\partial y para obter \mathrm{B} (checagem final).
Recordando Q e R:
Q=4xy\cos(xy^{2})+B z^{2}\cos(y z^{2}),
R=-3 x^{2}\sin(x^{2}z)-8 y z \cos(y z^{2})\quad(\text{usando }C=-3).
Derivando Q em z (primeiro termo independe de z):
\frac{\partial Q}{\partial z}=B\big(2z\cos(y z^{2}) + z^{2}\cdot(-\sin(y z^{2}))\cdot(2y z)\big) = B\big(2z\cos(y z^{2}) -2y z^{3}\sin(y z^{2})\big).
Derivando R em y (primeiro termo independe de y):
\frac{\partial R}{\partial y}=-8 z\cos(y z^{2}) + -8 y z\cdot(-\sin(y z^{2}))\cdot(z^{2}) =-8 z\cos(y z^{2}) +8 y z^{3}\sin(y z^{2}).
Impondo igualdade:
B\big(2z\cos -2y z^{3}\sin\big) = -8 z\cos +8 y z^{3}\sin.
Dividindo por 2:
B\big(z\cos - y z^{3}\sin\big) = -4 z\cos +4 y z^{3}\sin.
Comparando coeficientes: B\cdot 1 = -4 e também -B = 4, portanto
\mathrm{B}=-4.

Passo 6

Resumo dos valores encontrados:
\mathrm{A}=2,\qquad \mathrm{B}=-4,\qquad \mathrm{C}=-3.
Com isso \boldsymbol{F} é conservativo.

Passo 7

Como \boldsymbol{F} é conservativo, existe uma função potencial \varphi(x,y,z) com \nabla\varphi=\boldsymbol{F}. Para calcular a integral de linha entre dois pontos basta avaliar \varphi nos extremos:
\int_{(0,0,0)}^{(1,1,1)}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{s}=\varphi(1,1,1)-\varphi(0,0,0).
Vamos achar \varphi integrando P em x e ajustando as funções de integração.
Com os valores A,B,C já encontrados:
P=2 y^{2}\cos(xy^{2})-6 x z \sin(x^{2}z).
Integramos em x:
\varphi(x,y,z)=\int P\,dx =\int 2 y^{2}\cos(xy^{2})\,dx -\int 6 x z \sin(x^{2}z)\,dx.
Primeiro integral: com u=xy^{2}, du=y^{2}dx \int 2\cos(u)\,du = 2\sin(u)=2\sin(xy^{2}).
Segundo integral: com v=x^{2}z, dv=2xz\,dx \int 6 x z \sin(v)\,dx = 3\int 2 x z \sin(v)\,dx =3\int \sin v\,dv = -3\cos v, mas havia o sinal negativo original, portanto cuidado: estamos integrando -6 x z \sin(x^{2}z)\,dx, que resulta em +3\cos(x^{2}z).
Assim
\varphi(x,y,z)=2\sin(xy^{2})+3\cos(x^{2}z)+g(y,z),
onde g é função arbitrária de y,z.

Passo 8

Determinar g(y,z) usando \partial\varphi/\partial y=Q.
Calculamos
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=4xy\cos(xy^{2}) + \frac{\partial g}{\partial y}.
Isso deve igualar
Q=4xy\cos(xy^{2}) -4 z^{2}\cos(y z^{2}).
Logo
\frac{\partial g}{\partial y}=-4 z^{2}\cos(y z^{2}).
Integramos em y: com w=y z^{2}, dw=z^{2}dy, obtemos
g(y,z)=-4\sin(y z^{2}) + h(z),
onde h é função só de z.
Portanto
\varphi(x,y,z)=2\sin(xy^{2})+3\cos(x^{2}z)-4\sin(y z^{2}) + h(z).

Passo 9

Determinar h(z) usando \partial\varphi/\partial z=R.
Calculamos
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=-3 x^{2}\sin(x^{2}z) -8 y z\cos(y z^{2}) + h'(z).
Isso deve igualar
R=-3 x^{2}\sin(x^{2}z) -8 y z\cos(y z^{2}).
Portanto h'(z)=0, logo h(z) é constante. Podemos escolher essa constante igual a zero (potencial definido à adição de constante não altera o integral).
Assim uma potencial conveniente é
\varphi(x,y,z)=2\sin(xy^{2})+3\cos(x^{2}z)-4\sin(y z^{2}).

Passo 10

Calcular o integral usando \varphi:
\int_{(0,0,0)}^{(1,1,1)}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{s} =\varphi(1,1,1)-\varphi(0,0,0).
Avaliações:
\varphi(1,1,1)=2\sin(1)+3\cos(1)-4\sin(1)= -2\sin(1)+3\cos(1),
\varphi(0,0,0)=2\sin(0)+3\cos(0)-4\sin(0)=3.
Subtraindo:
\varphi(1,1,1)-\varphi(0,0,0) = -2\sin(1)+3\cos(1)-3.

Resposta

\mathrm{A}=2
\mathrm{B}=-4
\mathrm{C}=-3
\displaystyle \int_{(0,0,0)}^{(1,1,1)}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{s} = -2\sin(1)+3\cos(1)-3

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