Questão 4. Encontre os valores de
e C de tal forma que campo vetorial
seja conservativo. Para estes valores
e C calcule
(Campo conneriatero)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar os valores de
tais que o campo vetorial
com
seja conservativo.
2. Para esses valores, calcular o integral de linha
2. Para esses valores, calcular o integral de linha
Informações relevantes dadas:
- O campo está definido em
(domínio sem buracos), logo se então é conservativo. - Precisamos determinar
impondo as condições de campo conservativo e depois usar uma potencial escalar para calcular a integral de linha.
Passo 2
Conceito necessário (explicado curto e prático): para um campo
definido em domínio simplesmente conexo, ele é conservativo se e somente se o rotacional for nulo. Isso dá as três igualdades parciais:
Vamos aplicar essas igualdades para achar
. Explico cada derivada enquanto a faço.
Passo 3
Calcular
e
para obter
.
Começando por
:
Derivando em relação a
: para
usamos regra do produto:
Simplificando:
O segundo termo de
não depende de
, então não contribui.
Agora
:
Derivando em relação a
: o segundo termo não depende de
, então
Impondo
:
Comparando coeficientes, obtemos
, logo
Passo 4
Calcular
e
para obter
.
Relembrando
(com
, mas não precisamos substituir agora para derivar):
Derivando em
: o primeiro termo independe de
; para
usamos produto:
Logo
Agora
:
Derivando em
(segundo termo independe de
):
Impondo
:
Dividindo por
(identidade como funções), obtemos
Comparando coeficientes (do
e do
), temos
, logo
Passo 5
Calcular
e
para obter
(checagem final).
Recordando
e
:
Derivando
em
(primeiro termo independe de
):
Derivando
em
(primeiro termo independe de
):
Impondo igualdade:
Dividindo por
:
Comparando coeficientes:
e também
, portanto
Passo 6
Resumo dos valores encontrados:
Com isso
é conservativo.
Passo 7
Como
é conservativo, existe uma função potencial
com
. Para calcular a integral de linha entre dois pontos basta avaliar
nos extremos:
Vamos achar
integrando
em
e ajustando as funções de integração.
Com os valores A,B,C já encontrados:
Integramos em
:
Primeiro integral: com
,
dá
.
Segundo integral: com ,
dá
, mas havia o sinal negativo original, portanto cuidado: estamos integrando
, que resulta em
.
Segundo integral: com
Assim
onde
é função arbitrária de
.
Passo 8
Determinar
usando
.
Calculamos
Isso deve igualar
Logo
Integramos em
: com
,
, obtemos
onde
é função só de
.
Portanto
Passo 9
Determinar
usando
.
Calculamos
Isso deve igualar
Portanto
, logo
é constante. Podemos escolher essa constante igual a zero (potencial definido à adição de constante não altera o integral).
Assim uma potencial conveniente é
Passo 10
Calcular o integral usando
:
Avaliações:
Subtraindo: