Exemplo 0.3 Calcule.
\frac{2 i^{27}+i^{12}}{i^{18}+3 i^{7}} .

Passo 1

O enunciado pede calcular
\frac{2\,i^{27} + i^{12}}{i^{18} + 3\,i^{7}}
e vamos usar a propriedade periódica de i, que satisfaz
i^4 = 1.
Assim, para qualquer inteiro n, vale
i^n = i^{n \bmod 4}.

Passo 2

Reduzimos cada expoente módulo 4:
27 \bmod 4 = 3,\quad 12 \bmod 4 = 0,\quad 18 \bmod 4 = 2,\quad 7 \bmod 4 = 3.
Logo
i^{27} = i^3 = -\,i,\quad i^{12} = i^0 = 1,\quad i^{18} = i^2 = -1,\quad i^7 = i^3 = -\,i.

Passo 3

Substituindo na expressão original, obtemos
\frac{2(-\,i) + 1}{-1 + 3(-\,i)} = \frac{1 - 2\,i}{-1 - 3\,i}.

Passo 4

Para eliminar o denominador complexo, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de -1 - 3\,i, que é -1 + 3\,i:
\frac{1 - 2\,i}{-1 - 3\,i} \;\times\; \frac{-1 + 3\,i}{-1 + 3\,i} = \frac{(1 - 2\,i)(-1 + 3\,i)}{(-1 - 3\,i)(-1 + 3\,i)}.

Passo 5

Expandindo e simplificando:
(1 - 2\,i)(-1 + 3\,i) = -1 + 3\,i + 2\,i -6\,i^2 = -1 + 5\,i +6 = 5 + 5\,i,
(-1 - 3\,i)(-1 + 3\,i) = (-1)^2 - (3\,i)^2 = 1 - 9(-1) = 10.
Portanto,
\frac{5 + 5\,i}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\,i.

Resposta

\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\,i

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