Exemplo 0.3 Calcule.
\left(\frac{1+3 i}{2+i}\right)^{9}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \bigl(\frac{1+3i}{2+i}\bigr)^{9}. Vamos usar divisão de números complexos (multiplicando pelo conjugado) e em seguida explorar propriedades de potência em \mathbb{C}.

Passo 2

Para simplificar \frac{1+3i}{2+i}, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 2+i:
\frac{1+3i}{2+i} = \frac{(1+3i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{5+5i}{4+1} = \frac{5+5i}{5} = 1 + i.

Passo 3

Agora calculamos (1+i)^{9}. Note que
(1+i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i,
então
(1+i)^{9} = \bigl((1+i)^{2}\bigr)^{4}\,(1+i) = (2i)^{4}\,(1+i) = 16\,i^{4}\,(1+i) = 16\,(1+i),
pois i^{4}=1.

Resposta

16 + 16i

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