Exemplo 0.3 Calcule.
\left(\frac{1+3 i}{2+i}\right)^{6}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\left(\frac{1+3i}{2+i}\right)^{6}.
O conteúdo envolve duas partes principais: primeiro fazer a divisão de números complexos e escrever o resultado na forma a+bi, depois converter esse resultado para forma polar e usar a fórmula de De Moivre para elevar à sexta potência.

Passo 2

Para dividir \tfrac{1+3i}{2+i}, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 2+i, que é 2-i:
\frac{1+3i}{2+i} = \frac{(1+3i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{2 - i +6i -3i^2}{4+1} = \frac{2 +5i -3(-1)}{5} = \frac{5+5i}{5} =1+i.

Passo 3

Agora temos
\left(\frac{1+3i}{2+i}\right)^{6}=(1+i)^{6}.
Convertendo 1+i para forma polar, o módulo é
r = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2},
e o argumento (ângulo) é
\theta = \arg(1+i) = \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Pela fórmula de De Moivre,
(1+i)^{6} = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{6} \;\mathrm{cis}\bigl(6\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr) =2^{3}\;\mathrm{cis}\bigl(\tfrac{6\pi}{4}\bigr) =8\;\mathrm{cis}\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr).

Passo 5

O ângulo \tfrac{3\pi}{2} corresponde ao ponto no eixo imaginário negativo, isto é,
8\;\mathrm{cis}\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) =8\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{2}+i\sin\tfrac{3\pi}{2}\bigr) =8(0 - i) =-8i.

Resposta

-8i

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