Nos exercicios 1. a 5. obtenha e classifique os pontos críticos da função dada. Depois de classificar, por pura inspeção
tente concluir se f possui máximo ou minimo global nos extremantes locais de f.
f(x, y)=3\left(x^{2}+3 y^{2}\right) e^{-x^{2}-y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
f(x,y)=3\bigl(x^{2}+3y^{2}\bigr)e^{-x^{2}-y^{2}},
classificá-los (mínimo, máximo ou sela) usando o teste das derivadas segundas, e verificar por inspeção se os extremos locais são globais. Vamos usar cálculo de gradiente, resolver \nabla f=0, depois montar a matriz Hessiana e aplicar o critério de Sylvester.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais. Defina S=x^{2}+y^{2} e Q=x^{2}+3y^{2}.
f_x =3\frac{\partial}{\partial x}\bigl(Qe^{-S}\bigr) =3\Bigl(2x e^{-S}+Q\cdot(-2x)e^{-S}\Bigr) =6x\,e^{-S}\bigl(1-Q\bigr).
f_y =3\frac{\partial}{\partial y}\bigl(Qe^{-S}\bigr) =3\Bigl(6y e^{-S}+Q\cdot(-2y)e^{-S}\Bigr) =6y\,e^{-S}\bigl(3-Q\bigr).
Para \nabla f=0 precisamos de
6x\,e^{-S}(1-Q)=0,\quad 6y\,e^{-S}(3-Q)=0.
Como e^{-S}>0, as equações reduzem a
x=0\\ \lor\\ Q=1, \qquad y=0\\ \lor\\ Q=3.
As combinações que satisfazem ambas são:
  • x=0,\;y=0.
  • x=\pm1,\;y=0 (pois aí Q=1).
  • x=0,\;y=\pm1 (pois aí Q=3).
    Logo os pontos críticos são
(0,0),\quad (\pm1,0),\quad (0,\pm1).

Passo 3

Agora o teste das segundas derivadas. Calculamos a Hessiana genérica e avaliamos em cada ponto:
Para S e Q gerais resulta
f_{xx} =6e^{-S}(1-Q)-12x^{2}e^{-S}(2-Q),\quad f_{yy} =6e^{-S}(3-Q)-12y^{2}e^{-S}(6-Q),
f_{xy} =-12xy\,e^{-S}(4-Q).
1. Em (0,0): S=0,Q=0 \Rightarrow f_{xx}=6,\;f_{yy}=18,\;f_{xy}=0.
\det H=(6)(18)>0 e f_{xx}>0 \Rightarrow mínimo local.
2. Em (\pm1,0): S=1,Q=1 \Rightarrow f_{xx}=-12e^{-1},\;f_{yy}=12e^{-1},\;f_{xy}=0.
\det H<0 \Rightarrow ponto de sela.
3. Em (0,\pm1): S=1,Q=3 \Rightarrow f_{xx}=-12e^{-1},\;f_{yy}=-36e^{-1},\;f_{xy}=0.
\det H>0 e f_{xx}<0 \Rightarrow máximo local.

Passo 4

Para decidir globalidade, note que
f(x,y)\ge0,\quad \lim_{x^{2}+y^{2}\to\infty}f(x,y)=0,
e f(x,y)=0 só em (0,0). Portanto:
  • (0,0) é mínimo global (valor 0).
  • Em (0,\pm1), f(0,\pm1)=9e^{-1} é o valor máximo que f atinge (pois em outras direções o fator angular reduz o valor). Logo são máximos globais.
  • (\pm1,0) não são extremos, são selas.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
( 0,0): mínimo local e global.
( \pm 1,0): ponto de sela.
( 0, \pm 1): máximo local e global.

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