Nos exercicios 1. a 5. obtenha e classifique os pontos críticos da função dada. Depois de classificar, por pura inspeção
tente concluir se
possui máximo ou minimo global nos extremantes locais de
.
tente concluir se
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
classificá-los (mínimo, máximo ou sela) usando o teste das derivadas segundas, e verificar por inspeção se os extremos locais são globais. Vamos usar cálculo de gradiente, resolver
, depois montar a matriz Hessiana e aplicar o critério de Sylvester.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais. Defina
e
.
Para
precisamos de
Como
, as equações reduzem a
As combinações que satisfazem ambas são:
-
. -
(pois aí ). -
(pois aí ).
Logo os pontos críticos são
Passo 3
Agora o teste das segundas derivadas. Calculamos a Hessiana genérica e avaliamos em cada ponto:
Para
e
gerais resulta
Passo 4
Para decidir globalidade, note que
e
só em
. Portanto:
-
é mínimo global (valor ). - Em
, é o valor máximo que atinge (pois em outras direções o fator angular reduz o valor). Logo são máximos globais. -
não são extremos, são selas.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
( ): mínimo local e global.
( ): ponto de sela.
( ,
): máximo local e global.
(
(
(