Exemplo 2.4.1. Calcule as integrais:
Ia=integral raizxraiz[4]x^3+1 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
Ia=integral raizxraiz[4]x^3+1,dx
O conteúdo aqui é usar substituição para simplificar radicais em potências fracionárias, depois fazer divisão de polinômios e usar frações parciais.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
t = x^1/4, x = t^4, dx = 4,t^3,dt
Como raizx=x^1/2=t^2 e raiz[4]x^3=x^3/4=t^3, a integral vira
Ia =integral t^2t^3+1;4,t^3,dt =4integral t^5t^3+1,dt

Passo 3

Para integrar 4integral t^5/(t^3+1),dt fazemos divisão de polinômios:
t^5t^3+1 = t^2-t^-1+t^-1t^3+1
Logo
Ia =4integrall(t^2-t^-1+t^-1t^3+1r),dt =4l(integral t^2,dt-integral t^-1,dt+integral t^-1t^3+1,dtr)

Passo 4

Calculamos cada parte:
  1. integral t^2,dt=t^33
  2. integral t^-1,dt=lnlvert trvert
  3. Para integral t^-1t^3+1,dt notamos
1t(t^3+1) =1t-t^2t^3+1,
então
integral t^-1t^3+1,dt =integral1t,dt-integralt^2t^3+1,dt =lnlvert trvert-13lnlvert t^3+1rvert

Passo 5

Reagregando tudo:
Ia =4l(t^33-lnlvert trvert +lnlvert trvert-13lnlvert t^3+1rvertr) =43t^3-43lnlvert t^3+1rvert +C
Voltando a t=x^1/4, obtemos
Ia =43x^3/4-43lnl(x^3/4+1r)+C

Resposta

Ia =43x^3/4-43lnl(x^3/4+1r)+C

Exercícios relacionados