Exemplo 2.4.1. Calcule as integrais:
Ic=integral raiz[6]x+1raiz[6]x^7+raiz[4]x^5 d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
Ic=integral raiz[6]x+1raiz[6]x^7+raiz[4]x^5,dx
ou seja
integral x^1/6+1x^7/6+x^5/4,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de troca de variável para lidar com potências fracionárias e depois decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando por fatoração de potências de x. Note que
x^7/6=x^1+1/6=xcdot x^1/6, x^5/4=x^1+1/4=xcdot x^1/4,
logo o denominador é
x^7/6+x^5/4 = xl(x^1/6+x^1/4r) = x^7/6l(1+x^1/12r)
Assim
x^1/6+1x^7/6+x^5/4 =x^1/6+1x^7/6(1+x^1/12) =x^1/6x^7/611+x^1/12 +1x^7/611+x^1/12
=x^-1+x^-7/61+x^1/12

Passo 3

Fazemos a substituição
t = x^1/12, x = t^12, dx = 12,t^11,dt
Em termos de t:
x^-1 = t^-12, x^-7/6 = x^-1-tfrac16=t^-12,t^-2=t^-14
Logo o integrando vira
x^-1+x^-7/61+x^1/12,dx =t^-12+t^-141+t;12,t^11,dt =12,t^-1+t^-31+t,dt

Passo 4

Escrevemos
t^-1+t^-31+t =t^-1+t^-31+t =t^2+1t^3(1+t)
e fazemos frações parciais:
t^2+1t^3(1+t) =At+Bt^2+Ct^3+D1+t
Multiplicando por t^3(1+t) e igualando coeficientes, encontra-se
A=2, B=-1, C=1, D=-2
Assim
t^2+1t^3(1+t) = 2t-1t^2+1t^3-21+t

Passo 5

A integral em t é
Ic =12integrall(2t-1t^2+1t^3-21+tr),dt =12l(2ln|t|+1t-12t^2-2ln|1+t|r)+C
Detalhando:
integral2t,dt=2ln|t|, integral-1t^2,dt=1t, integral1t^3,dt=-12t^2, integral-21+t,dt=-2ln|1+t|

Passo 6

Voltando a x, temos t=x^1/12, logo
12cdot2ln|t|=24lnl(x^1/12r)=2ln|x|,
e os termos racionais:
12t=12,x^-1/12, -122t^2=-6,x^-1/6, -24ln|1+t|=-24lnl(1+x^1/12r)

Resposta

boxedIc =2ln|x|+12,x^-tfrac112-6,x^-tfrac16 -24lnl(1+x^tfrac112r)+C

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