Exemplo 2.7.9. Calcule
L\left(e^{-2 t} \operatorname{sen} 3 t\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \e^{-2t}\operatorname{sen}(3t). O conteúdo necessário é a definição da transformada de Laplace, a fórmula de \operatorname{sen}(bt) e a propriedade de deslocamento no domínio de s.

Passo 2

Lembrando que a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,\mathrm{d}t
e que a propriedade de deslocamento diz
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}(s)=F(s-a)
sejam F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s).

Passo 3

Para f(t)=\operatorname{sen}(3t) usamos a fórmula padrão
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(bt)\}(s)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}
com b=3. Logo
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(3t)\}(s)=\frac{3}{s^{2}+9}.

Passo 4

Aplicando a propriedade de deslocamento com a=-2, temos
\mathcal{L}\{\e^{-2t}\operatorname{sen}(3t)\}(s) =\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(3t)\}(s-(-2)) =\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(3t)\}(s+2).
Substituindo s por s+2 na expressão acima,
\mathcal{L}\{\e^{-2t}\operatorname{sen}(3t)\}(s) =\frac{3}{(s+2)^{2}+9}.

Resposta

\mathcal{L}\{\e^{-2t}\operatorname{sen}(3t)\}(s) =\frac{3}{(s+2)^{2}+9}.

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