Exemplo 0.4 Considere os números complexos z=1+3 i e w=2+i. Faça a representação vetorial de z+w, z-w, z . w, z / w e \bar{z}.

Passo 1

O enunciado pede a representação vetorial dos números complexos resultantes das operações sobre
z = 1 + 3i
e
w = 2 + i.
Conteúdo: soma, subtração, multiplicação, divisão e conjugação de números complexos, seguidos da interpretação geométrica em que cada número a+bi corresponde ao vetor (a,b) no plano.

Passo 2

Calcular z + w.
z + w = (1 + 3i) + (2 + i) = 3 + 4i.
Em forma de vetor, isso corresponde ao ponto (3,4).

Passo 3

Calcular z - w.
z - w = (1 + 3i) - (2 + i) = -1 + 2i.
Em forma de vetor, isso corresponde ao ponto (-1,2).

Passo 4

Calcular o produto z \cdot w.
z \cdot w = (1 + 3i)(2 + i) = 2 + i + 6i + 3i^2 = (2 - 3) + 7i = -1 + 7i.
Em forma de vetor, isso corresponde ao ponto (-1,7).

Passo 5

Calcular o quociente z / w. Para isso, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de w:
\frac{z}{w} = \frac{1 + 3i}{2 + i}\cdot\frac{2 - i}{2 - i} = \frac{(1+3i)(2 - i)}{2^2 + 1^2} = \frac{2 - i + 6i - 3i^2}{5} = \frac{2 + 5i + 3}{5} = 1 + i.
Em forma de vetor, isso corresponde ao ponto (1,1).

Passo 6

Calcular o conjugado \overline{z}.
\overline{z} = \overline{1 + 3i} = 1 - 3i.
Em forma de vetor, isso corresponde ao ponto (1,-3).

Resposta

z+w = 3 + 4i, vetor (3,4)
z-w = -1 + 2i, vetor (-1,2)
z\cdot w = -1 + 7i, vetor (-1,7)
\displaystyle \frac{z}{w} = 1 + i, vetor (1,1)
\overline{z} = 1 - 3i, vetor (1,-3)

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