EXEMPLO 1-2 Cálculo da Constante \gamma da Transformação de Lorentz Mostre que a constante \gamma deve ser dada pela Equação 1-16 para que a Equação 1-15 se transforme na Equação 1-14, como exige o primeiro postulado de Einstein.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, impondo o princípio da relatividade (primeiro postulado de Einstein), a transformação de Lorentz dada por
x' = \gamma(v)\,\bigl(x - v\,t\bigr), \quad t' = \gamma(v)\,\Bigl(t - \frac{v}{c^{2}}\,x\Bigr) \tag{1-15}
deve ter a mesma forma funcional na inversa
x = \gamma(-v)\,\bigl(x' + v\,t'\bigr), \quad t = \gamma(-v)\,\Bigl(t' + \frac{v}{c^{2}}\,x'\Bigr) \tag{1-14}
e daí determinar \gamma(v) de modo que se obtenha a expressão
\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{v^{2}}{c^{2}}}} \tag{1-16}
Para isso usaremos apenas o postulado de que todas as leis (e portanto a forma da transformação) são as mesmas em ambos os referenciais.

Passo 2

Como a forma da inversa deve ser idêntica à forma direta com v\to -v, temos
\gamma(-v)=\gamma(v).
Agora compondo a transformação direta (1-15) com a inversa (1-14) deve-se recuperar x'=x e t'=t. Em particular, compondo em x:

Passo 3

Aplicamos primeiro a direta e em seguida a inversa a x:
x =\gamma(-v)\,\bigl[x' +v\,t'\bigr] =\gamma(-v)\Bigl[\gamma(v)\,(x -v\,t) +v\,\gamma(v)\Bigl(t -\frac{v}{c^{2}}\,x\Bigr)\Bigr].
Como \gamma(-v)=\gamma(v), isso fica
x =\gamma(v)^{2}\Bigl[(x -v\,t)+v\,t -\frac{v^{2}}{c^{2}}\,x\Bigr] =\gamma(v)^{2}\,\Bigl[x\;\bigl(1-\tfrac{v^{2}}{c^{2}}\bigr)\Bigr].

Passo 4

Para que a composição seja a identidade em x para todo x, é preciso
\gamma(v)^{2}\,\Bigl(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\Bigr)=1.
Logo
\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{v^{2}}{c^{2}}}},
escolhendo o sinal positivo para corresponder à expansão contínua quando v\to0.

Resposta

\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.

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