Resolva a inequação e apresente seu resultado usando a notação de intervalos.
|x-P|<|x-Q|-4

Passo 1

Vou resumir o enunciado: temos a inequação
|x-P|<|x-Q|-4,
que envolve valor absoluto. Precisamos resolver para x e dar resposta em notação de intervalos. A ideia é analisar a diferença |x-P|-|x-Q| como função definida por trechos, com pontos críticos em x=P e x=Q.

Passo 2

Reescrevo a inequação como
|x-P|-|x-Q|<-4
e observo que as expressões |x-P| e |x-Q| mudam de fórmula nos pontos x=P e x=Q. Portanto, divido a reta em três partes: x\le\min(P,Q), \min(P,Q)\le x\le\max(P,Q) e x\ge\max(P,Q).

Passo 3

No trecho x\le \min(P,Q) temos |x-P|=P-x e |x-Q|=Q-x. Logo
|x-P|-|x-Q|=(P-x)-(Q-x)=P-Q
e a inequação vira
P-Q<-4\quad\Longleftrightarrow\quad Q-P>4.
Se Q-P>4, qualquer x\le \min(P,Q) satisfaz. Caso contrário, não há solução nessa parte.

Passo 4

No trecho entre P e Q assumo, sem perda de geralidade, P\le Q. Então para P\le x\le Q vale |x-P|=x-P e |x-Q|=Q-x, e
|x-P|-|x-Q|=(x-P)-(Q-x)=2x-(P+Q).
A inequação |x-P|-|x-Q|<-4 fica
2x-(P+Q)<-4\quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac{P+Q-4}{2}.
Conjuntando com P\le x\le Q obtemos solução
P\le x<\min\Bigl(Q,\frac{P+Q-4}{2}\Bigr).
Para existir essa região é necessário Q-P>4, pois isso garante (P+Q-4)/2>P.

Passo 5

No trecho x\ge \max(P,Q) temos |x-P|=x-P e |x-Q|=x-Q, então
|x-P|-|x-Q|=(x-P)-(x-Q)=Q-P
e a inequação vira
Q-P<-4\quad\Longleftrightarrow\quad P-Q>4.
Se P-Q>4, qualquer x\ge \max(P,Q) satisfaz. Caso contrário, não há solução nessa parte.

Passo 6

Para compilar tudo: o único caso em que aparece solução é quando \lvert Q-P\rvert>4. Se Q-P>4, a união das partes dá
(-\infty,P]\cup\bigl[P,\tfrac{P+Q-4}{2}\bigr) =(-\infty,\tfrac{P+Q-4}{2}).
Se P-Q>4, a união dá
(\tfrac{P+Q+4}{2},\infty).

Resposta

Se Q-P>4, a solução é
(-\infty,\tfrac{P+Q-4}{2});
se P-Q>4, a solução é
(\tfrac{P+Q+4}{2},\infty);
caso contrário não há solução.

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