y^{\prime}=\frac{x+y+4}{x-y-6}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
Estamos diante de uma equação que fica homogênea após transladar o sistema de eixos. Para resolver, vamos usar a mudança de variáveis
de forma que o numerador e o denominador se tornem lineares e proporcionais a
e
.
Passo 2
Com
e
temos
e também
. Logo
Passo 3
A fração
é homogênea de grau zero em
. Fazemos a substituição
então
e a equação vira
Passo 4
Isolamos
:
Agora separamos variáveis:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo,
logo
No lado direito,
Portanto
Passo 6
Voltando a
e
, obtemos a solução implícita