Questão 5:

Suponha que A^{\prime}, B^{\prime} e C^{\prime} estejam em repouso no referencial S^{\prime}, que se move em relação a S com velocidade v no sentido positivo do eixo dos x. O ponto B^{\prime} está exatamente a meio caminho entre A^{\prime} e C^{\prime}, cuja distância é L^{\prime}. Em t^{\prime}=0, um pulso luminoso é emitido em B^{\prime} e se propaga em todas as direções como uma onda esférica. (a) As frentes de onda chegam simultaneamente em A^{\prime} e C^{\prime} de acordo com um observador em S^{\prime} ? (b) As frentes de onda chegam simultaneamente em A^{\prime} e C^{\prime} de acordo com um observador em S ? (c) Se a resposta ao item (a) ou (b) foi negativa, qual é a diferença entre os tempos de chegada? Em que ponto a frente de onda chega primeiro?

Passo 1

No referencial S' temos três pontos fixos: A' e C' estão separados por uma distância L' e B' está exatamente no meio, ou seja, a L'/2 de cada um. Em t'=0 um pulso de luz parte de B'. Queremos saber se as frentes de onda chegam simultaneamente em A' e C' em (a) S' e em (b) S, e em (c) calcular a diferença de tempos e dizer qual chega primeiro, caso não sejam simultâneas. Para isso vamos usar a constância da velocidade da luz em S' e a transformação de Lorentz para passar a tempos e posições para S.

Passo 2

Em S' a luz se propaga radialmente a velocidade c. Como A' e C' estão à mesma distância L'/2 de B', o tempo de chegada em cada um é
t'_A \;=\; t'_C \;=\;\frac{L'/2}{c} \;=\;\frac{L'}{2c}.
Logo, em S' as frentes de onda chegam simultaneamente a A' e C'.

Passo 3

Em S usamos a transformação de tempo de Lorentz
t \;=\;\gamma\Bigl(t' + \frac{v\,x'}{c^2}\Bigr),\quad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
Para o evento “chegada em A'”:
x'_A=-\frac{L'}{2},\quad t'_A=\frac{L'}{2c} \quad\Longrightarrow\quad t_A =\gamma\Bigl(\frac{L'}{2c}-\frac{v\,L'/2}{c^2}\Bigr) =\gamma\,\frac{L'}{2c}\,(1-\tfrac{v}{c}).
Para o evento “chegada em C'”:
x'_C=+\frac{L'}{2},\quad t'_C=\frac{L'}{2c} \quad\Longrightarrow\quad t_C =\gamma\Bigl(\frac{L'}{2c}+\frac{v\,L'/2}{c^2}\Bigr) =\gamma\,\frac{L'}{2c}\,(1+\tfrac{v}{c}).
Como t_A\neq t_C, as chegadas não são simultâneas em S.

Passo 4

A diferença entre os tempos medidos em S é
\Delta t = t_C - t_A =\gamma\,\frac{L'}{2c}\Bigl[(1+\tfrac{v}{c})-(1-\tfrac{v}{c})\Bigr] =\gamma\,\frac{v\,L'}{c^2}.
Nesse referencial S, a frente de onda chega primeiro em A' (o ponto mais “atrás” no movimento positivo do eixo x).

Resposta

(a) Sim, em S' chega simultaneamente.
(b) Não, em S não são simultâneas.
(c)
\Delta t \;=\;t_C - t_A \;=\;\gamma\,\frac{v\,L'}{c^2},
e a frente de onda chega primeiro em A'.

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