EXEMPLO 1-3 Transformação de Intervalos de Tempo A chegada de dois léptons \mu (múons) produzidos por raios cósmicos é registrada em um laboratório, um no instante t_{a} e na posição x_{a} e outro no instante t_{b} e na posição x_{b} do referencial do laboratório, S na Figura 1-17. Qual é o intervalo de tempo entre os dois eventos no referencial S^{\prime}, que se move com velocidade v em relação ao referencial S ?

Passo 1

O enunciado dá dois eventos no referencial-laboratório S:
– Evento a em \bigl(t_a,\,x_a\bigr)
– Evento b em \bigl(t_b,\,x_b\bigr)
E pede o intervalo de tempo \Delta t' = t'_b - t'_a no referencial S' que se move com velocidade v em relação a S.
Conteúdo: transformação de Lorentz para coordenadas de tempo.

Passo 2

Na relatividade especial a transformação de Lorentz entre S e S' para a coordenada de tempo é
t' \;=\; \gamma\!\bigl(t - \tfrac{v\,x}{c^2}\bigr),
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}}}
é o fator de Lorentz e c é a velocidade da luz.

Passo 3

Para os dois eventos temos
t'_a = \gamma\!\bigl(t_a - \tfrac{v\,x_a}{c^2}\bigr), \qquad t'_b = \gamma\!\bigl(t_b - \tfrac{v\,x_b}{c^2}\bigr).
Subtraindo, definindo \Delta t = t_b - t_a e \Delta x = x_b - x_a, vem
\Delta t' = t'_b - t'_a = \gamma\!\Bigl[(t_b - t_a) \;-\;\frac{v\,(x_b - x_a)}{c^2}\Bigr] = \gamma\!\Bigl(\Delta t \;-\;\frac{v\,\Delta x}{c^2}\Bigr).

Resposta

\Delta t' = \gamma\Bigl(\Delta t - \tfrac{v\,\Delta x}{c^2}\Bigr), \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.

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