Seja
um ponto de um espaço métrico
. Prove que
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que
Informações dadas e objetos envolvidos:
- Temos um ponto
de um espaço métrico . - Para cada
é considerado a bola aberta centrada em e raio , ou seja a bola
onde
é a métrica de
.
- A interseção pedida é o conjunto de pontos que pertencem a todas as bolas
, para todo natural.
Passo 2
Mostramos primeiro que
.
- Propriedade básica de uma métrica:
. - Para todo
temos . - Logo
para todo . - Portanto
pertence à interseção de todas as bolas, isto é
Passo 3
Agora mostramos a inclusão oposta:
. Equivalente e mais prático é provar que se
e
então
.
- Seja
com . Pela definição de métrica, a distância satisfaz . - Queremos mostrar que existe algum
tal que , isto é, tal que . - Use a propriedade arquimediana dos números reais: para todo número real positivo
existe um inteiro com . (Uma construção explícita é tomar .) Essa propriedade garante que existe com
- Como
, obtemos . Em particular , então (porque pontos da bola satisfazem estritamente ). - Como existe pelo menos um índice
para o qual , segue que não pertence à interseção de todas as bolas. - Assim nenhum
pertence à interseção, o que dá
Passo 4
Combinando as duas inclusões do Passo 2 e do Passo 3, concluímos que