Seja p um ponto de um espaço métrico M. Prove que \bigcap_{n=1}^{\infty} B\left(p, \frac{1}{n}\right)=\{p\}.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que
\bigcap_{n=1}^{\infty} B\!\left(p,\frac{1}{n}\right)=\{p\}.
Informações dadas e objetos envolvidos:
  • Temos um ponto p de um espaço métrico M.
  • Para cada n\in\mathbb{N} é considerado a bola aberta centrada em p e raio \tfrac{1}{n}, ou seja a bola
B\!\left(p,\frac{1}{n}\right)=\{x\in M \mid d(x,p)<\tfrac{1}{n}\},
onde d(\cdot,\cdot) é a métrica de M.
  • A interseção pedida é o conjunto de pontos que pertencem a todas as bolas B\!\left(p,\tfrac{1}{n}\right), para todo n natural.

Passo 2

Mostramos primeiro que \{p\}\subseteq\bigcap_{n=1}^{\infty} B\!\left(p,\tfrac{1}{n}\right).
  • Propriedade básica de uma métrica: d(p,p)=0.
  • Para todo n\in\mathbb{N} temos 0=d(p,p)<\tfrac{1}{n}.
  • Logo p\in B\!\left(p,\tfrac{1}{n}\right) para todo n.
  • Portanto p pertence à interseção de todas as bolas, isto é
\{p\}\subseteq\bigcap_{n=1}^{\infty} B\!\left(p,\tfrac{1}{n}\right).

Passo 3

Agora mostramos a inclusão oposta: \bigcap_{n=1}^{\infty} B\!\left(p,\tfrac{1}{n}\right)\subseteq\{p\}. Equivalente e mais prático é provar que se x\in M e x\neq p então x\notin\bigcap_{n=1}^{\infty} B\!\left(p,\tfrac{1}{n}\right).
  • Seja x\in M com x\neq p. Pela definição de métrica, a distância r:=d(x,p) satisfaz r>0.
  • Queremos mostrar que existe algum n tal que x\notin B\!\left(p,\tfrac{1}{n}\right), isto é, tal que d(x,p)\ge \tfrac{1}{n}.
  • Use a propriedade arquimediana dos números reais: para todo número real positivo r existe um inteiro N com N>\tfrac{1}{r}. (Uma construção explícita é tomar N=\lfloor\tfrac{1}{r}\rfloor+1.) Essa propriedade garante que existe N\in\mathbb{N} com
\frac{1}{N}<r.
  • Como r=d(x,p), obtemos \dfrac{1}{N}<d(x,p). Em particular d(x,p)\ge \dfrac{1}{N}, então x\notin B\!\left(p,\tfrac{1}{N}\right) (porque pontos da bola satisfazem estritamente d(\cdot,p)<\tfrac{1}{N}).
  • Como existe pelo menos um índice N para o qual x\notin B\!\left(p,\tfrac{1}{N}\right), segue que x não pertence à interseção de todas as bolas.
  • Assim nenhum x\neq p pertence à interseção, o que dá
\bigcap_{n=1}^{\infty} B\!\left(p,\tfrac{1}{n}\right)\subseteq\{p\}.

Passo 4

Combinando as duas inclusões do Passo 2 e do Passo 3, concluímos que
\bigcap_{n=1}^{\infty} B\!\left(p,\tfrac{1}{n}\right)=\{p\}.

Resposta

\{p\}

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