Seja A um conjunto e seja \mathscr{R} uma relação entre pares de elementos de A. Dizemos que \mathscr{R} é uma relação de equivalência em A se as seguintes propriedades são verificadas quaisquer que sejam x, x^{\prime} e x^{\prime \prime} \in A.
  1. x \mathscr{R} x
  2. Se x \mathscr{R} x^{\prime} então x^{\prime} \mathscr{R} x
  3. Se x \mathscr{R} x^{\prime} e x^{\prime} \mathscr{R} x^{\prime \prime} então x \mathscr{R} x^{\prime \prime}.

Passo 1

O enunciado nos dá a definição de relação de equivalência em um conjunto A. Informações fornecidas:
  • Há um conjunto A.
  • Há uma relação \mathscr{R} em A (isto é, um subconjunto de A\times A).
  • A relação satisfaz, quaisquer que sejam x,x',x''\in A, as três propriedades:
    1. x\mathscr{R}x (reflexividade);
    2. Se x\mathscr{R}x' então x'\mathscr{R}x (simetria);
    3. Se x\mathscr{R}x' e x'\mathscr{R}x'' então x\mathscr{R}x'' (transitividade).
O que se espera aprender / responder (implícito no enunciado):
  • Entender bem o que cada propriedade significa na prática.
  • Definir e estudar as classes de equivalência associadas a \mathscr{R}.
  • Mostrar a consequência central: que uma relação de equivalência determina uma partição de A (e, recíproco, que uma partição de A determina uma relação de equivalência).
  • Ver exemplos e dicas para usar isso numa prova.

Passo 2

O que significam as três propriedades — explicação intuitiva e usando palavras fáceis.
  • Reflexividade: para todo x\in A, tem-se x\mathscr{R}x. Em palavras: cada elemento está relacionado consigo mesmo. Isso garante que toda classe de equivalência não será vazia (porque x pertence à sua própria classe).
  • Simetria: se x está relacionado com x' então x' está relacionado com x. Em palavras: a relação é “mútua”; não é do tipo “apenas de um para o outro”.
  • Transitividade: se x está relacionado com x' e x' com x'', então x está relacionado com x''. Em palavras: a relação “se propaga” através de intermediários.
Dica prática para prova: quando pedirem “verifique se \mathscr{R} é relação de equivalência”, cheque uma por uma: reflexividade, simetria e transitividade — e, se falhar em uma, já basta para dizer que não é. Para mostrar que é, prove as três.

Passo 3

Definição importante: classe de equivalência de um elemento.
  • Para x\in A define-se
[x] \coloneqq \{y\in A \mid y\mathscr{R}x\}.
Isto lê-se “classe de equivalência de x”. É o conjunto de todos os elementos de A que estão relacionados com x.
Propriedade simples e imediata (usar a reflexividade): como x\mathscr{R}x, segue que x\in[x]. Logo cada classe [x] é não vazia.

Passo 4

Se y\in[x] então [y]=[x]. Prova detalhada passo a passo (muito útil na prova):
  • Hipótese: y\in[x]. Por definição, isso significa y\mathscr{R}x.
  • Queremos mostrar igualdade de conjuntos: [y]=[x]. Para isso mostramos [y]\subseteq[x] e [x]\subseteq[y].
  1. Provar [y]\subseteq[x].
  • Tome um elemento arbitrário z\in[y]. Então por definição z\mathscr{R}y.
  • Usando z\mathscr{R}y e y\mathscr{R}x, pela transitividade obtemos z\mathscr{R}x.
  • Logo z\in[x]. Como z foi arbitrário em [y], concluímos [y]\subseteq[x].
  1. Provar [x]\subseteq[y].
  • Tome z\in[x]. Então z\mathscr{R}x.
  • Temos y\mathscr{R}x (hipótese) e, aplicando a simetria dela, x\mathscr{R}y.
  • Com z\mathscr{R}x e x\mathscr{R}y, pela transitividade obtemos z\mathscr{R}y.
  • Logo z\in[y]. Assim [x]\subseteq[y].
Como há inclusão mútua, [y]=[x]. Conclusão prática: se duas classes têm um elemento em comum então são exatamente a mesma classe.

Passo 5

Cobertura e disjunção — provar que as classes formam uma partição de A.
  • Cobertura (união das classes é todo A):
    • Para qualquer x\in A já vimos x\in[x]. Portanto cada x pertence a pelo menos uma classe. Assim
    A=\bigcup_{x\in A}[x].
  • Disjunção (duas classes são iguais ou disjuntas):
    • Suponha [x]\cap[y]\neq\varnothing. Então existe z tal que z\in[x]\cap[y]. Em particular z\in[x] e z\in[y].
    • Pelo Passo 4, de z\in[x] obtemos [z]=[x]; de z\in[y] obtemos [z]=[y].
    • Logo [x]=[z]=[y]. Portanto se há interseção, as classes são iguais; caso contrário, se não são iguais, então são disjuntas.
  • Estas duas propriedades (cobertura + classes não vazias + classes são iguais ou disjuntas) são exatamente a definição de partição de A.
Portanto concluímos que a relação de equivalência \mathscr{R} determina uma partição de A cujas partes são as classes [x].

Passo 6

Recíproco: dada uma partição de A, construir uma relação de equivalência. Isto é útil para provas e questões de prova (método alternativo).
  • Seja \mathcal{P} uma partição de A (ou seja, \mathcal{P} é um conjunto de subconjuntos não vazios, mutuamente disjuntos, cuja união é A).
  • Defina a relação \mathscr{R}_\mathcal{P} por: para x,y\in A,
x\mathscr{R}_\mathcal{P} y \quad\text{se, e somente se,}\quad \text{existe }P\in\mathcal{P}\text{ tal que }x\in P\text{ e }y\in P.
  • Verificação das três propriedades:
    • Reflexiva: x pertence a algum P\in\mathcal{P} (porque a partição cobre A), então x\mathscr{R}_\mathcal{P}x.
    • Simétrica: se x\mathscr{R}_\mathcal{P}y então x e y pertencem ao mesmo P, logo y\mathscr{R}_\mathcal{P}x.
    • Transitiva: se x e y estão no mesmo P, e y e z estão no mesmo Q, como as partes são disjuntas isso força P=Q, então x e z estão na mesma parte, logo x\mathscr{R}_\mathcal{P}z.
  • Conclusão: relação obtida é equivalência. Assim existe uma correspondência biunívoca entre relações de equivalência em A e partições de A.

Passo 7

Exemplos concretos (muito úteis para fixar e usar em prova) e contraexemplos rápidos:
  • Exemplo 1 (clássico): congruência módulo n em \mathbb{Z}. Defina para a,b\in\mathbb{Z},
a\equiv b\pmod{n} \quad\Longleftrightarrow\quad n\mid(a-b).
Verifique: é reflexiva, simétrica e transitiva. As classes são os conjuntos de inteiros com o mesmo resto em divisão por n: [0],[1],\dots,[n-1]. Usa-se direto em prova: mostrar que duas expressões têm mesmo resto etc.
  • Exemplo 2: relação em \mathbb{Z} dada por “mesmo sinal absoluto”: a\mathscr{R}b quando |a|=|b|. É equivalência; as classes são pares \{k,-k\} (para k\neq0) e \{0\}.
  • Exemplo 3: relação “mesma cor de cabelo” em um conjunto de pessoas. É equivalência conceitualmente: classes = pessoas com mesma cor.
  • Contraexemplo rápido: relação “ <” em \mathbb{R} não é equivalência (não é simétrica nem reflexiva no sentido estrito de x<x ser verdadeiro).
  • Dica de prova: para negar que é equivalência, basta encontrar um exemplo específico que quebra alguma propriedade (por exemplo, mostrar que existe x tal que não x\mathscr{R}x, ou que existe x,y com x\mathscr{R}y mas não y\mathscr{R}x, etc.).

Passo 8

Boas práticas e truques para a hora da prova (resumido, direto e prático):
  • Quando for mostrar que uma relação é equivalência:
    • Prove as três propriedades separadamente e escreva claramente qual propriedade está provando.
    • Use símbolos: “Seja x\in A. Como \ldots, temos x\mathscr{R}x. Logo reflexiva.” Isso deixa a correção feliz.
  • Quando for mostrar que não é equivalência:
    • Encontre um contraexemplo concreto e explique por que ele viola a propriedade (por exemplo: “tomando x=\ldots obtemos que não x\mathscr{R}x”).
  • Para trabalhar com classes:
    • Lembre sempre que [x] contém x.
    • Se conseguir mostrar que todo elemento de uma família B tem a mesma relação com x, então B\subseteq[x]; para igualdade use inclusão mútua.
  • Para transformar entre partição e relação: às vezes é mais simples mostrar que a coleção de blocos é uma partição do que verificar diretamente transitividade (ou vice-versa). Escolha o caminho mais curto.

Resposta

As classes de equivalência [x]=\{y\in A\mid y\mathscr{R}x\} são não vazias, cobrem A e duas classes são iguais ou disjuntas; portanto \mathscr{R} determina uma partição de A. Reciprocamente, toda partição de A define uma relação de equivalência cuja classes são os blocos da partição.

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