Seja
um conjunto e seja
uma relação entre pares de elementos de
. Dizemos que
é uma relação de equivalência em
se as seguintes propriedades são verificadas quaisquer que sejam
e
.
-
- Se
então
- Se
e
então
.
Passo 1
O enunciado nos dá a definição de relação de equivalência em um conjunto
. Informações fornecidas:
- Há um conjunto
. - Há uma relação
em (isto é, um subconjunto de ). - A relação satisfaz, quaisquer que sejam
, as três propriedades: -
(reflexividade); - Se
então (simetria); - Se
e então (transitividade).
-
O que se espera aprender / responder (implícito no enunciado):
- Entender bem o que cada propriedade significa na prática.
- Definir e estudar as classes de equivalência associadas a
. - Mostrar a consequência central: que uma relação de equivalência determina uma partição de
(e, recíproco, que uma partição de determina uma relação de equivalência). - Ver exemplos e dicas para usar isso numa prova.
Passo 2
O que significam as três propriedades — explicação intuitiva e usando palavras fáceis.
- Reflexividade: para todo
, tem-se . Em palavras: cada elemento está relacionado consigo mesmo. Isso garante que toda classe de equivalência não será vazia (porque pertence à sua própria classe). - Simetria: se
está relacionado com então está relacionado com . Em palavras: a relação é “mútua”; não é do tipo “apenas de um para o outro”. - Transitividade: se
está relacionado com e com , então está relacionado com . Em palavras: a relação “se propaga” através de intermediários.
Dica prática para prova: quando pedirem “verifique se
é relação de equivalência”, cheque uma por uma: reflexividade, simetria e transitividade — e, se falhar em uma, já basta para dizer que não é. Para mostrar que é, prove as três.
Passo 3
Definição importante: classe de equivalência de um elemento.
- Para
define-se
Isto lê-se “classe de equivalência de
”. É o conjunto de todos os elementos de
que estão relacionados com
.
Propriedade simples e imediata (usar a reflexividade): como
, segue que
. Logo cada classe
é não vazia.
Passo 4
Se
então
. Prova detalhada passo a passo (muito útil na prova):
- Hipótese:
. Por definição, isso significa . - Queremos mostrar igualdade de conjuntos:
. Para isso mostramos e .
- Provar
.
- Tome um elemento arbitrário
. Então por definição . - Usando
e , pela transitividade obtemos . - Logo
. Como foi arbitrário em , concluímos .
- Provar
.
- Tome
. Então . - Temos
(hipótese) e, aplicando a simetria dela, . - Com
e , pela transitividade obtemos . - Logo
. Assim .
Como há inclusão mútua,
. Conclusão prática: se duas classes têm um elemento em comum então são exatamente a mesma classe.
Passo 5
Cobertura e disjunção — provar que as classes formam uma partição de
.
- Cobertura (união das classes é todo
): - Para qualquer
já vimos . Portanto cada pertence a pelo menos uma classe. Assim
- Para qualquer
- Disjunção (duas classes são iguais ou disjuntas):
- Suponha
. Então existe tal que . Em particular e . - Pelo Passo 4, de
obtemos ; de obtemos . - Logo
. Portanto se há interseção, as classes são iguais; caso contrário, se não são iguais, então são disjuntas.
- Suponha
- Estas duas propriedades (cobertura + classes não vazias + classes são iguais ou disjuntas) são exatamente a definição de partição de
.
Portanto concluímos que a relação de equivalência
determina uma partição de
cujas partes são as classes
.
Passo 6
Recíproco: dada uma partição de
, construir uma relação de equivalência. Isto é útil para provas e questões de prova (método alternativo).
- Seja
uma partição de (ou seja, é um conjunto de subconjuntos não vazios, mutuamente disjuntos, cuja união é ). - Defina a relação
por: para ,
- Verificação das três propriedades:
- Reflexiva:
pertence a algum (porque a partição cobre ), então . - Simétrica: se
então e pertencem ao mesmo , logo . - Transitiva: se
e estão no mesmo , e e estão no mesmo , como as partes são disjuntas isso força , então e estão na mesma parte, logo .
- Reflexiva:
- Conclusão: relação obtida é equivalência. Assim existe uma correspondência biunívoca entre relações de equivalência em
e partições de .
Passo 7
Exemplos concretos (muito úteis para fixar e usar em prova) e contraexemplos rápidos:
- Exemplo 1 (clássico): congruência módulo
em . Defina para ,
Verifique: é reflexiva, simétrica e transitiva. As classes são os conjuntos de inteiros com o mesmo resto em divisão por
:
. Usa-se direto em prova: mostrar que duas expressões têm mesmo resto etc.
- Exemplo 2: relação em
dada por “mesmo sinal absoluto”: quando . É equivalência; as classes são pares (para ) e . - Exemplo 3: relação “mesma cor de cabelo” em um conjunto de pessoas. É equivalência conceitualmente: classes = pessoas com mesma cor.
- Contraexemplo rápido: relação “
” em não é equivalência (não é simétrica nem reflexiva no sentido estrito de ser verdadeiro). - Dica de prova: para negar que é equivalência, basta encontrar um exemplo específico que quebra alguma propriedade (por exemplo, mostrar que existe
tal que não , ou que existe com mas não , etc.).
Passo 8
Boas práticas e truques para a hora da prova (resumido, direto e prático):
- Quando for mostrar que uma relação é equivalência:
- Prove as três propriedades separadamente e escreva claramente qual propriedade está provando.
- Use símbolos: “Seja
. Como , temos . Logo reflexiva.” Isso deixa a correção feliz.
- Quando for mostrar que não é equivalência:
- Encontre um contraexemplo concreto e explique por que ele viola a propriedade (por exemplo: “tomando
obtemos que não ”).
- Encontre um contraexemplo concreto e explique por que ele viola a propriedade (por exemplo: “tomando
- Para trabalhar com classes:
- Lembre sempre que
contém . - Se conseguir mostrar que todo elemento de uma família
tem a mesma relação com , então ; para igualdade use inclusão mútua.
- Lembre sempre que
- Para transformar entre partição e relação: às vezes é mais simples mostrar que a coleção de blocos é uma partição do que verificar diretamente transitividade (ou vice-versa). Escolha o caminho mais curto.
Resposta
As classes de equivalência
são não vazias, cobrem
e duas classes são iguais ou disjuntas; portanto
determina uma partição de
. Reciprocamente, toda partição de
define uma relação de equivalência cuja classes são os blocos da partição.