Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.
\left(1-x^{2}\right) \frac{d y}{d x}-x^{2} y=(1+x) \sqrt{1-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede: obter a solução geral da equação diferencial
(1-x^{2})\frac{dy}{dx}-x^{2}y=(1+x)\sqrt{1-x^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação envolve y e sua derivada dy/dx.
  • Há um fator 1-x^{2} multiplicando dy/dx e um termo -x^{2}y.
  • No lado direito aparece (1+x)\sqrt{1-x^{2}}.
  • Observação sobre domínio: a presença de \sqrt{1-x^{2}} e do fator 1-x^{2} no denominador (quando colocarmos em forma padrão) indica que a análise natural será para -1<x<1 (evita x=\pm1 onde surgem problemas de indeterminação).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem y'+P(x)y=Q(x). Dividindo ambos os lados por 1-x^{2} (válido em pontos onde 1-x^{2}\neq0):
\frac{dy}{dx}-\frac{x^{2}}{1-x^{2}}\,y=\frac{1+x}{\sqrt{1-x^{2}}}\cdot\frac{1}{1+x}\cdot(1+x)\frac{1}{1-x^{2}}.
Simplifico o lado direito observando que
\frac{(1+x)\sqrt{1-x^{2}}}{1-x^{2}}=\frac{1+x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Portanto a forma padrão é
\frac{dy}{dx}-\frac{x^{2}}{1-x^{2}}\,y=\frac{1+x}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 3

Relembrando o método do fator integrante: para uma equação
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x),
o fator integrante é \mu(x)=\exp\!\bigl(\int P(x)\,dx\bigr). No nosso caso P(x)=-\dfrac{x^{2}}{1-x^{2}}. Vamos calcular
\int P(x)\,dx=\int -\frac{x^{2}}{1-x^{2}}\,dx.
Para integrar, fazemos uma decomposição algébrica:
-\frac{x^{2}}{1-x^{2}}=1-\frac{1}{1-x^{2}},
porque -x^{2}=(1-x^{2})-1. Assim
\int -\frac{x^{2}}{1-x^{2}}\,dx=\int 1\,dx-\int\frac{1}{1-x^{2}}\,dx.

Passo 4

Calcular as integrais conhecidas:
\int 1\,dx = x, \qquad \int\frac{1}{1-x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|.
Portanto
\int P(x)\,dx = x-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|.
Assim o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(x-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\right).

Passo 5

Simplificar \mu(x) usando propriedades de exponencial e logaritmo:
\mu(x)=e^{x}\exp\!\left(-\tfrac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\right) = e^{x}\left|\frac{1+x}{1-x}\right|^{-1/2}.
No intervalo natural de trabalho -1<x<1 temos \dfrac{1+x}{1-x}>0, então podemos retirar o valor absoluto e escrever
\mu(x)=e^{x}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}.

Passo 6

Multiplica-se a equação padrão por \mu(x). O lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y:
\frac{d}{dx}\bigl(\mu(x)y\bigr)=\mu(x)\cdot\frac{1+x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Vamos simplificar o produto \mu(x)\cdot\frac{1+x}{\sqrt{1-x^{2}}}. Usando \mu(x)=e^{x}\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} e \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}, obtemos
\mu(x)\cdot\frac{1+x}{\sqrt{1-x^{2}}} = e^{x}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\cdot\frac{1+x}{\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}} = e^{x}.
Portanto a equação simplifica de forma muito agradável para
\frac{d}{dx}\bigl(\mu(x)y\bigr)=e^{x}.

Passo 7

Integrar ambos os lados em x:
\mu(x)y=\int e^{x}\,dx = e^{x}+C,
onde C é a constante de integração. Então
y=\frac{e^{x}+C}{\mu(x)}.

Passo 8

Substituir \mu(x) e simplificar:
y=\frac{e^{x}+C}{e^{x}\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}} =\left(1+Ce^{-x}\right)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.
Esta é a solução geral válida no intervalo -1<x<1. A constante C é arbitrária real.

Resposta

y(x)=\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}\bigl(1+Ce^{-x}\bigr),\quad C\in\mathbb{R},\\\ -1<x<1

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