Dê um exemplo de que a convergência de \sum a_{n} e a convergência de \sum b_{n} não implica necessariamente na convergência de \sum\left(a_{n} b_{n}\right).

Passo 1

O enunciado pede um exemplo concreto que mostre que mesmo que as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} converjam, a série formada pelos termos produto \sum (a_{n}b_{n}) pode não convergir.
Informações dadas: precisamos apenas apresentar sequências (a_n) e (b_n) tais que \sum a_n e \sum b_n convergem, mas \sum (a_n b_n) diverge. Não há outras restrições.

Passo 2

Vou propor uma escolha simples e clássica. Defina, para n\ge1,
a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}},\qquad b_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}.
Agora vou justificar por que \sum a_{n} e \sum b_{n} convergem. Como a_n e b_n são iguais, basta analisar uma delas.

Passo 3

Lembrete didático: critério de Leibniz (teste da série alternada). Ele diz que a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} u_{n}
converge se as condições a seguir forem satisfeitas:
  1. u_{n}\ge 0 para todo n,
  2. u_{n} é monótona decrescente a partir de algum índice,
  3. \lim_{n\to\infty} u_{n}=0.
Aqui podemos tomar u_{n}=1/\sqrt{n}. Verificações: u_n>0, u_n é decrescente para n\ge1 (pois a função x\mapsto 1/\sqrt{x} é decrescente), e \lim_{n\to\infty} u_n=0. Portanto, pela regra de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}
converge. O mesmo vale para \sum b_{n}, já que b_n=a_n.
Observação didática: essas séries não convergem absolutamente, pois
\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}
é uma série p-com p=\tfrac12<1, logo diverge. Mas para o nosso objetivo basta a convergência condicional.

Passo 4

Calcule agora o termo produto a_{n}b_{n}. Como ambos têm o mesmo sinal alternado,
a_{n}b_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\cdot\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}=\frac{(-1)^{2n}}{n}=\frac{1}{n}.
Portanto a série dos produtos é exatamente a série harmônica:
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.

Passo 5

Lembrete didático sobre a série harmônica: \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{n} diverge. Uma demonstração elementar (por agrupamento) é:
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
cada grupo em parênteses tem soma maior ou igual a \tfrac12, logo as somas parciais crescem sem limite e a série diverge. Assim \sum a_n b_n diverge.

Passo 6

Conclusão do raciocínio: tomamos \sum a_n e \sum b_n convergentes (condicionalmente), mas \sum(a_n b_n)=\sum 1/n diverge. Logo a convergência separada de \sum a_n e \sum b_n não garante a convergência de \sum(a_n b_n). Isso serve como contraexemplo.

Resposta

a_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}},\quad b_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}

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