Dê um exemplo de que a convergência de
e a convergência de
não implica necessariamente na convergência de
.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo concreto que mostre que mesmo que as séries
e
converjam, a série formada pelos termos produto
pode não convergir.
Informações dadas: precisamos apenas apresentar sequências e
tais que
e
convergem, mas
diverge. Não há outras restrições.
Informações dadas: precisamos apenas apresentar sequências
Passo 2
Vou propor uma escolha simples e clássica. Defina, para
,
Agora vou justificar por que
e
convergem. Como
e
são iguais, basta analisar uma delas.
Passo 3
Lembrete didático: critério de Leibniz (teste da série alternada). Ele diz que a série
converge se as condições a seguir forem satisfeitas:
-
para todo , -
é monótona decrescente a partir de algum índice, -
.
Aqui podemos tomar
. Verificações:
,
é decrescente para
(pois a função
é decrescente), e
. Portanto, pela regra de Leibniz, a série
converge. O mesmo vale para
, já que
.
Observação didática: essas séries não convergem absolutamente, pois
é uma série
-com
, logo diverge. Mas para o nosso objetivo basta a convergência condicional.
Passo 4
Calcule agora o termo produto
. Como ambos têm o mesmo sinal alternado,
Portanto a série dos produtos é exatamente a série harmônica:
Passo 5
Lembrete didático sobre a série harmônica:
diverge. Uma demonstração elementar (por agrupamento) é:
cada grupo em parênteses tem soma maior ou igual a
, logo as somas parciais crescem sem limite e a série diverge. Assim
diverge.
Passo 6
Conclusão do raciocínio: tomamos
e
convergentes (condicionalmente), mas
diverge. Logo a convergência separada de
e
não garante a convergência de
. Isso serve como contraexemplo.